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1、第二节 离散型随机变量 及其概率分布,离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量表示方法 三种常见分布,从中任取3 个球,取到的白球数X是一个随机变量 .,(1) X 可能取的值是0,1,2 ;,(2) 取每个值的概率为:,例1,一、离散型随机变量及其分布律,1. 定义: 某些随机变量X的所有可能取值是有限多个 或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 .,其中 (k=1,2, ) 满足：,（2）,2. 定义: 设 xk (k=1,2, ) 是离散型随机变量 X 所取的 一切可能值，称,为离散型随机变量 X 的分布律(probability distribution).,用这两条性质(非
2、负性,完备性) 判断一个函数是否是分布律,解: 依据分布律的性质,a0 ,从中解得,即,例2,设随机变量X的分布律为：,k =0,1,2, ,试确定常数a .,二、离散型随机变量表示方法,（1）公式法,（2）列表法,例3 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9， 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布律.,解：X 可取值为0,1,2 ;,PX =0=(0.1)(0.1)=0.01,PX =1= (0.9)(0.1) +(0.1)(0.9) =0.18,PX =2=(0.9)(0.9)=0.81,则X的分布律为：,例4 某射手连续向一目标射击，直到命中为止， 已知他每发命中的概率是p， 求所需射击发数X
3、 的分布律.,解: 显然，X 可能取的值是1,2, ，,PX=1=P(A1)=p,为计算 PX =k ， k = 1,2, ，,Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，,设,于是,可见,这就是求所需射击发数 X 的分布律.,三、三种常见分布,1.（01）分布：（也称两点分布）,随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值，其分布律为：,或,称 X 服从（0-1）分布或两点分布,其中 q=1-p,对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在W上定义一个服从 （01）分布的随机变量:,检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及“抛硬币”试验都可以用
4、（0-1）分布的随机变量来描述,用X 表示n 重伯努利试验中事件A发生的次数,则,易证：,（1）,称 r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 记作,X b(n, p),X b(1, p),(0-1)分布也可记作,2. 二项分布(Binomial Distribution),X B(n, p),或,例6 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次, 每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个次品的概率.,解: 因为这是有放回地取3次， 因此这3 次试验的条件完全相同且独立， 它是3重伯努利试验.,依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.,设X 为所取的3个中的次品数，,于是，所求
5、概率为：,则,X b(3,0.05)，,若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么各次试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此时, 只能用古典概型求解.,请注意：,例6 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查20件，问恰好有k (k=0,1,2,20)件次品的概率是多少？,解 这是不放回抽样但由于这批产品的总数很大，且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小，因而可以当作放回抽样来处理这样做会有一些误差，但误差不大.我们将检查一件产品是否为次品看成是一次试验，检查20件产品相当于做20重伯努利试验以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X是一个随机变量，且X
6、b(20,0.2). 则所求的概率为,将计算结果列表如下：,计算结果作图：,见书P37,伯努利试验对试验结果没有等可能的要求， 但有下述要求：,（1）每次试验条件相同；,二项分布描述的是n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数 X 的分布律 .,（2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 ，,（3）各次试验相互独立.,可以简单地说，,且 P(A)=p ， ；,例7 某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2, 求三个灯泡在使用1000 小时以后 最多只有一个坏了的概率.,解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .,X b(3, 0.8)，,把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验,
7、 “使用到1000小时已坏” 视为事件A .每次试验, A 出现的概率为0.8,PX 1 =PX=0+PX=1,=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,3. 泊松分布(Poisson Distribution),1) 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为：,其中 0 是常数, 则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作XP()或 X().,自然界和社会科学的许多随机现象都遵从泊松分布。 例如，某时间段内电话交换机台接到的呼叫次数； 某地区一段时间间隔内发生的交通事故的次数； 一天内到商店去的顾客数； 医院每天来就诊的病人数； 某放射性材料在一段时间内
8、放射出来的-粒子数； 一本书内一页或若干页中的印刷错误等， 都服从或近似地服从某一参数的泊松分布。,例8 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l= 10的泊松分布为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？,解,由附表2的泊松分布表知,只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销,2) 二项分布的泊松近似,解,注意 此种情况下所求概率比(1)中低，而10名维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备，工作效率是(1)中的2.5倍.,由此可知 若干维修工共同负责大量设备的维修，将提高工作的效率.,作业,习题2-1 3 习题2-2 3, 6, 8, 10, 12,