第五章相关与回归分析完整版.ppt

《第五章相关与回归分析完整版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章相关与回归分析完整版.ppt（162页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第 5 章 相关与回归分析,第5章 相关与回归分析,5.1 相关与回归分析的基本概念 5.2 一元线性回归分析 5.3 多元线性回归分析 5.4 非线性回归分析 5.5 相关分析,学习目标,1. 了解相关与回归分析的基本概念 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计 掌握回归直线的拟合优度测定 掌握回归系数和回归方程的显著性检验 利用回归方程进行估计和预测 用 Excel ,SPSS进行回归 掌握各种相关系数的含义和应用场合,5.1 相关与回归分析的基本概念,函数关系与相关关系 相关关系的种类 相关分析和回归分析 相关表和相关图,函数关系和相关关系,函数关系,是一一对应的确定关系 设有两

2、个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上,函数关系 (几个例子), 函数关系的例子 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = px (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=R2 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3,相关关系 (correlation),变量间关系不能用

3、函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围,相关关系 (几个例子), 相关关系的例子 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系,相关关系 (类型),相关关系 (类型),按变量多少可分为 简单相关 多元相关 复相关 偏相关 按依存形式可分为 线性相关 非线性相关,相关关系 (类型),3. 按相关的

4、程度可分为 完全相关 不完全相关 完全无关 4. 按相关的方向可分为 正相关 负相关,相关分析与回归分析,相关分析与回归分析,相关分析:分析现象之间相互依存关系的密切程度. 回归分析:根据相关关系的具体形态,选择一个合适的数学模型,来近似地表达变量间平均变化关系.,相关关系的描述与测度 (相关表和散点图),散点图 (scatter diagram),散点图 (例题分析),【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的提高，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷

5、款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据,散点图 (例题分析),散点图 (例题分析),5.2 一元线性回归,一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验,什么是回归分析？ (Regression),从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,回归分析与相关分析的区

6、别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析主要是描述两个变量之间依存关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,回归模型的类型,一元线性回归模型,一元线性回归,涉及一个自变量的回归 因变量y与自变量x之间为线性关系 被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 因变量与自变量之间的关系用一条

7、线性方程来表示,回归模型 (regression model),回答“变量之间是什么样的关系？” 方程中运用 1 个数字的因变量(响应变量) 被预测的变量 1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量) 用于预测的变量 3. 主要用于预测和估计,一元线性回归模型,描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型 一元线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + e y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间

8、的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数（回归系数）,一元线性回归模型 (基本假定),误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，的方差2 都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N( 0 ,2 ) 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关,回归方程 (regression equation),描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程 一

9、元线性回归方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x（总体回归直线）,方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,估计的回归方程 (estimated regression equation),一元线性回归中估计的回归方程(样本回归直线)为,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程,总体回归参数 和 是未知的，必需利用样本数据去估计,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的

10、值， 是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,参数的最小二乘估计,最小二乘估计,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,最小二乘估计 (图示),最小二乘法 ( 和 的计算公式), 根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的公式如下,估计方程的求法 (例题分析),【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程,回归方程为：y = -0.8295 + 0.037895 x 回归系数 =0.037895 表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元,估计方

11、程的求法 (例题分析),不良贷款对贷款余额回归方程的图示,用Excel进行回归分析,第1步：选择“工具”下拉菜单 第2步：选择“数据分析”选项 第3步：在分析工具中选择“回归”，然后选择“确定” 第4步：当对话框出现时 在“Y值输入区域”方框内键入Y的数据区域 在“X值输入区域”方框内键入X的数据区域 在“置信度”选项中给出所需的数值 在“输出选项”中选择输出区域 在“残差”分析选项中选择所需的选项 用Excel进行回归分析,回归直线的拟合优度,变差,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的

12、非线性影响、测量误差等)的影响 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示,变差的分解 (图示),离差平方和的分解 (三个平方和的关系),离差平方和的分解 (三个平方和的意义),总平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,判定系数r2 (coefficient of determi

13、nation),回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度 取值范围在 0 , 1 之间 R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差 一元线性回归中，判定系数等于相关系数的平方，即R2(r)2,判定系数r2 (例题分析),【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义 判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系,估计标准

14、误差 (standard error of estimate),实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量 反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 计算公式为,注：例题的计算结果为1.9799,显著性检验,线性关系的检验,检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著 将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著 回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数p) 残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-p-1),线

15、性关系的检验 (检验的步骤),提出假设 H0：1=0 线性关系不显著,2. 计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若FF ,不能拒绝H0,线性关系的检验 (例题分析),提出假设 H0： 1=0 不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著 计算检验统计量F,确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1和分母自由度25-2找出临界值F =4.28 作出决策：若FF ,拒绝H0，线性关系显著,线性关系的检验 (方差分析表),Excel 输出的方差分析表,回归系数的检验,在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验,检验 x 与

16、y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著,理论基础是回归系数 的抽样分布,回归系数的检验 (样本统计量 的分布),是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布 的分布具有如下性质 分布形式：正态分布 数学期望： 标准差： 由于未知，需用其估计量sy来代替得到 的估计的标准差,回归系数的检验 (检验步骤),提出假设 H0: b1 = 0 (没有线性关系) H1: b1 0 (有线性关系) 计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt，不能拒绝H0,回归系数的检验 (例题分析),对例题的回归系数进行显著性检验(0.05) 提出假设

17、H0：b1 = 0 H1：b1 0 计算检验的统计量,t=7.533515t=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有线性关系,回归系数的检验 (例题分析),P 值的应用,P=0.000000=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷 款余额之间有线性关系,Excel输出的部分回归结果,利用回归方程进行 估计和预测,点估计 区间估计,利用回归方程进行估计和预测,根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值 估计或预测的类型 点估计 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 区间估计 y 的平均值的置信区间估计 y 的个别值的预测区间估计,点估计,点估计,2. 点估计值有 y 的平均值

18、的点估计 y 的个别值的点估计 在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同,对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值,y 的平均值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的一个估计值E(y0) ，就是平均值的点估计 在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计 。根据估计的回归方程得,y 的个别值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估

19、计 比如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计 。根据估计的回归方程得,区间估计,区间估计,点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计 对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间 区间估计有两种类型 置信区间估计(confidence interval estimate) 预测区间估计(prediction interval estimate),置信区间估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的

20、估计区间 ，这一估计区间称为置信区间(confidence interval) E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为,式中：sy为估计标准误差,置信区间估计 (例题分析),【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95% 的置信区间 解：根据前面的计算结果，已知n=25， sy=1.9799，t(25-2)=2.0687 置信区间为,当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在2.1422亿元到3.7778亿元之间,预测区间估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间(prediction interval)

21、y0在1-置信水平下的预测区间为,预测区间估计 (例题分析),【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款 95% 的置信区间 解：根据前面的计算结果，已知n=25， sy=1.9799，t(25-2)=2.0687 置信区间为,贷款余额为72.8亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.2467亿元到6.1067亿元之间,影响区间宽度的因素,置信水平 (1 - ) 区间宽度随置信水平的增大而增大 数据的离散程度 (s) 区间宽度随离散程度的增大而增大 3. 样本容量 区间宽度随样本容量的增大而减小 4. 用于预测的 xp与x的差异程度 区间宽度随 xp与x 的差异程度的增大而增大,置信区间、

22、预测区间、回归方程,残差分析,用残差证实模型的假定 用残差检测异常值和有影响的观测值,残差 (residual),因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示 反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差 确定有关误差项的假定是否成立 检测有影响的观测值,用残差证实模型的假定,残差图 (residual plot),表示残差的图形 关于x的残差图 关于y的残差图 标准化残差图 用于判断误差的假定是否成立 检测有影响的观测值,残差图 (形态及判别),残差图 (例题分析),标准化残差 (standardized residual), 残差除以它的标准差后得到的数值。计算公式为 ei是第

23、i个残差的标准差，其计算公式为,标准化残差图, 用以直观地判断误差项服从正态分布这一假定是否成立 若假定成立，标准化残差的分布也应服从正态分布 在标准化残差图中，大约有95%的标准化残差在-2到+2之间,标准化残差图 (例题分析),用残差检测异常值和 有影响的观测值,异常值 (outlier),如果某一个点与其他点所呈现的趋势不相吻合，这个点就有可能是异常点，或称为野点 如果异常值是一个错误的数据，比如记录错误造成的，应该修正该数据，以便改善回归的效果 如果是由于模型的假定不合理，使得标准化残差偏大，应该考虑采用其他形式的模型，比如非线性模型 如果完全是由于随机因素而造成的异常值，则应该保留该

24、数据 在处理异常值时，若一个异常值是一个有效的观测值，不应轻易地将其从数据集中予以剔出,异常值 (识别),异常值也可以通过标准化残差来识别 如果某一个观测值所对应的标准化残差较大，就可以识别为异常值 一般情况下，当一个观测值所对应的标准化残差小于-2或大于+2时，就可以将其视为异常值,有影响的观测值,如果某一个或某一些观测值对回归的结果有强烈的影响，那么该观测值或这些观测值就是有影响的观测值 一个有影响的观测值可能是 一个异常值，即有一个的值远远偏离了散点图中的趋势线 对应一个远离自变量平均值的观测值 或者是这二者组合而形成的观测值，,有影响的观测值 (图示),不存在影响值的趋势,不存在影响值

25、的趋势,存在影响值的趋势,杠杆率点 (ieverage point),如果自变量存在一个极端值，该观测值则称为高杠杆率点(high ieverage point) 在一元回归中，第i个观测值的杠杆率用hi表示，其计算公式为 如果一个观测值的杠杆率 就可以将该观测值识别为有高杠杆率的点 一个有高杠杆率的观测值未必是一个有影响的观测值，它可能对回归直线的斜率没有什么影响,高杠杆率点 (图示),高杠杆率点,5.3 多元线性回归,一. 多元线性回归模型 二. 回归方程的拟合优度 三. 显著性检验 四. 多重共线性 五. 利用回归方程进行估计和预测 虚拟自变量的回归 用残差证实模型的假定,多元回归模型与

26、回归方程,多元回归模型 (multiple regression model),一个因变量与两个及两个以上自变量的回归 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ， xp 和误差项 的方程，称为多元回归模型 涉及 p 个自变量的多元回归模型可表示为,b0 ，b1，b2 ，bp是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2 ， ，xp 的线性函数加上误差项 包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系所解释的变异性,多元回归模型 (基本假定),误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0 对于自变量x1，x2，xp的所有值，的方差2都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，即N(0

27、,2)，且相互独立,多元回归方程 (multiple regression equation),描述因变量 y 的平均值或期望值如何依赖于自变量 x1， x2 ，xp的方程 多元线性回归方程的形式为 E( y ) = 0+ 1 x1 + 2 x2 + p xp,b1，b2，bp称为偏回归系数 bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一个单位时，y 的平均平均变动值,二元回归方程的直观解释,估计的多元回归方程,估计的多元回归的方程 (estimated multiple regression equation),是 估计值 是 y 的估计值,用样本统计量 估计回归方程中的 参数 时得到的方程

28、 由最小二乘法求得 一般形式为,参数的最小二乘估计,参数的最小二乘法,求解各回归参数的标准方程如下,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 。即,参数的最小二乘法 (例题分析),【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，为弄清楚不良贷款形成的原因，抽取了该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据。试建立不良贷款(y)与贷款余额(x1)、累计应收贷款(x2)、贷款项目个数(x3)和固定资产投资额(x4)的线性回归方程，并解释各回归系数的含义 用Excel进行回归,回归方程的拟合优度,多重判定系数 (multiple coefficient of determination),

29、回归平方和占总平方和的比例 计算公式为 因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例,修正多重判定系数 (adjusted multiple coefficient of determination),用样本容量n和自变量的个数p去修正R2得到 计算公式为 避免增加自变量而高估 R2 意义与 R2类似 数值小于R2,Excel 输出结果的分析,估计标准误差 Sy,对误差项的标准差的一个估计值 衡量多元回归方的程拟合优度 计算公式为,Excel 输出结果的分析,显著性检验,线性关系检验,检验因变量与所有自变量之间的是否显著 也被称为总体的显著性检验 检验方法是将回归离差平方和(SSR)

30、同剩余离差平方和(SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是否显著 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系,线性关系检验,提出假设 H0：12p=0 线性关系不显著 H1：1，2，p至少有一个不等于0,2. 计算检验统计量F,3. 确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出临界值F 4. 作出决策：若FF ，拒绝H0,Excel 输出结果的分析,回归系数的检验,线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验 究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在建立模型之前作出决定 对回归系数检验的个数进行限制，以避

31、免犯过多的第一类错误(弃真错误) 对每一个自变量都要单独进行检验 应用 t 检验统计量,回归系数的检验 (步骤),提出假设 H0： bi = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) H1： bi 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系) 计算检验的统计量 t,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt，不能拒绝H0,Excel 输出结果的分析,回归系数的推断 (置信区间),回归系数在(1-)%置信水平下的置信区间为,回归系数的抽样标准差,Excel 输出结果的分析,多重共线性,多重共线性 (multicollinearity),回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关

32、 多重共线性带来的问题有 可能会使回归的结果造成混乱，甚至会把分析引入歧途 可能对参数估计值的正负号产生影响，特别是各回归系数的正负号有可能同我们与其的正负号相反,Excel 输出结果的分析,多重共线性的识别,检测多重共线性的最简单的一种办法是计算模型中各对自变量之间的相关系数，并对各相关系数进行显著性检验 若有一个或多个相关系数显著，就表示模型中所用的自变量之间相关，存在着多重共线性 如果出现下列情况，暗示存在多重共线性 模型中各对自变量之间显著相关。 当模型的线性关系检验(F检验)显著时，几乎所有回归系数的t检验却不显著 回归系数的正负号与其的相反。,Excel 输出结果的分析,多重共线性

33、 (例题分析),【例】判别各自变量之间是否存在多重共线性,贷款余额、应收贷款、贷款项目、固定资产投资额之间的相关矩阵,多重共线性 (例题分析),【例】判别各自变量之间是否存在多重共线性,相关矩阵系数的检验统计量,多重共线性 (例题分析),t(25-2)=2.0687，所有统计量tt(25-2)=2.0687，所以均拒绝原假设，说明这4个自变量两两之间都有显著的相关关系 由表Excel输出的结果可知，回归模型的线性关系显著(Significance-F1.03539E-06=0.05) 。这也暗示了模型中存在多重共线性 固定资产投资额的回归系数为负号(-0.029193) ，与预期的不一致,多重

34、共线性 (问题的处理),将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量尽可能不相关 如果要在模型中保留所有的自变量，则应 避免根据 t 统计量对单个参数进行检验 对因变量值的推断(估计或预测)的限定在自变量样本值的范围内,Excel 输出结果的分析,利用回归方程进行估计和预测(软件应用),置信区间估计 (例题分析),STATISTICA输出的不良贷款的置信区间,预测区间估计 (例题分析),STATISTICA输出的不良贷款的预测区间,含有一个虚拟自变量的回归,虚拟自变量 (dummy variable),用数字代码表示的定性自变量 虚拟自变量可有不同的水平 只有两个水平的虚拟自变量 比如

35、，性别(男，女) 有两个以上水平的虚拟自变量 贷款企业的类型(家电，医药，其他) 虚拟变量的取值为0，1,虚拟自变量的回归,回归模型中使用虚拟自变量时，称为虚拟自变量的回归 当虚拟自变量只有两个水平时，可在回归中引入一个虚拟变量 比如，性别(男，女) 一般而言，如果定性自变量有k个水平，需要在回归中模型中引进k-1个虚拟变量,虚拟自变量的回归 (例题分析),【例】为研究考试成绩与性别之间的关系，从某大学商学院随机抽取男女学生各8名，得到他们的市场营销学课程的考试成绩如下表,虚拟自变量的回归 (例题分析),散点图,y与x的回归,虚拟自变量的回归 (例题分析),引进虚拟变量时，回归方程可写：E(y

36、) =0+ 1x 男( x=0)：E(y) =0男学生考试成绩的期望值 女(x=0 )：E(y) =0+ 11女学生考试成绩的期望值 注意：当指定虚拟变量01时 0总是代表与虚拟变量值0所对应的那个分类变量水平的平均值 1总是代表与虚拟变量值1所对应的那个分类变量水平的平均响应与虚拟变量值0所对应的那个分类变量水平的平均值的差值，即 平均值的差值 =(0+ 1) - 0= 1,虚拟自变量的回归 (例题分析),【例】为研究工资水平与工作年限和性别之间的关系，在某行业中随机抽取10名职工，所得数据如下表,y与x1的回归及分析,y与x1、 x2的回归及分析,虚拟自变量的回归 (例题分析),引进虚拟变

37、量时，回归方程可写： E(y) =0+ 1x1+ 2x2 女( x2=0)：E(y|女性) =0 +1x1 男(x2=1)：E(y|男性) =(0 + 2 ) +1x1 0的含义表示：女性职工的期望月工资收入 (0+ 2)的含义表示：男性职工的期望月工资收入 1含义表示：工作年限每增加1年，男性或女性工资的平均增加值 2含义表示：男性职工的期望月工资收入与女性职工的期望月工资收入之间的差值 (0+ 2) - 0= 2,5.4 非线性回归,一. 非线性回归分析简介 常见的可线性化的非线性函数 非线性回归分析的注意事项,非线性回归分析简介,非线性回归的意义,在实际工作中，有时变量之间相关关系并非存

38、在线性关系，而呈诸如抛物线、指数曲线、双曲线等各种各样的非线性关系。需要应用适当形式的曲线回归方程来描述它们之间的关系。这种为观察数据拟合曲线回归方程所进行的分析，称为非线性回归分析。,非线性回归分析的一般步骤,先对所研究的现象进行理论分析，分析现象之间是否确实存在相关关系 确定相关的形式，可结合观察散点图的分布，确定拟合哪种形式的曲线较为合适 计算其有关参数，从而确定所拟合的回归方程形式 比较可决系数（或相关指数）及估计的标准误差等指标来选择合适的回归模型，并根据所确定的回归方程进行预测。,非线性函数形式的确定,首先，方程形式应与所要研究现象相一致，例如生产函数多用幂函数的形式；而总成本与总

39、产量之间的关系多呈多项式关系 其次，选择有较高拟合程度的方程 最后，方程的数学形式要尽可能的简单（准确性和可操作性更高）,非线性回归模型的参数估计,非线性回归方程的参数估计方法有多种，比较简单常用的有： 非线性最小二乘法 化为线性模型（采用简单数学变换或泰勒级数展开等），再用线性最小二乘法,常见的可线性化的非线性函数,常见的可线性化的函数,抛物线： 特征：二阶差分为常数 双曲线函数：,常见的可线性化的函数,幂函数 特征： Y对Xj的弹性为bj，常用于生产函数和需求函数,常见的可线性化的函数,指数函数： 常用于描述增长速度大致相等的时间序列曲线 对数函数： 常见初等函数曲线,常见的可线性化的函数

40、,S型曲线： 特征：开始时，Y随X的增加而递增的增加，当Y达到一定水平时，Y随X增加而递减的增加，并以X=L为渐近线常用于描述生长曲线或用来表现耐用消费品普及率的变化,非线性回归分析的注意事项,非线性回归分析的注意事项,当模型中只有变量是非线性，而参数估计量及Y的估计量是关于误差项的线性函数时 ，我们称该模型具有内在线型性 当模型不具有内在线型性时 不能从回归残差中得到随机项方差的无偏估计量 由于回归系数的估计量不再是随机项的线性函数，t检验和F检验都失效 由于Y的估计量不再是随机项的线性函数，因此， Y的估计量不再具有最佳、线性、无偏的性质，置信区间也无法构造,5.5 相关分析,一. 线性单

41、相关分析 等级相关系数及其检验 复相关系数与偏相关系数 相关指数,线性单相关分析(Pearson 相关系数）,简单线性相关系数 (Pearson correlation coefficient),对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单线性相关系数，简称相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r,简单线性相关系数 (总体), 总体相关系数的计算公式,简单线性相关系数 (计算公式), 样本相关系数的计算公式,或化简为,相关系数 (取值及其意义),r 的取值范围是 -1,1 |r|=1，为

42、完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关 r = 0，不存在线性相关关系相关 -1r0，为负相关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切,相关系数 (取值及其意义),r,相关系数 (例题分析),用Excel计算相关系数,简单相关系数的显著性检验,相关系数的显著性检验 ( r 的抽样分布),1. r 的抽样分布随总体相关系数和样本容量的大小而变化 当样本数据来自正态总体时，随着n的增大，r 的抽样分布趋于正态分布，尤其是在总体相关系数很小或接近0时，趋于正态分布的趋势非常明显。而当远离0时，除非n非常大，否则r的抽样分布呈现一定的偏态。

43、 当为较大的正值时，r 呈现左偏分布；当为较大的负值时，r 呈现右偏分布。只有当接近于0，而样本容量n很大时，才能认为r是接近于正态分布的随机变量,相关系数的显著性检验 (检验的步骤),1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 等价于对回归系数 b1的检验 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 检验的步骤为 提出假设：H0： ；H1： 0,计算检验的统计量：,确定显著性水平，并作出决策 若tt，拒绝H0 若tt，不能拒绝H0,相关系数的显著性检验 (例题分析), 对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检(0.05) 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量,3. 根据显著性

44、水平0.05，查t分布表得t(n-2)=2.0687 由于t=7.5344t(25-2)=2.0687，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系,相关系数的显著性检验 (例题分析),各相关系数检验的统计量,等级相关分析 （Spearman等级相关系数）,Spearman等级相关系数 (Spearman correlation coefficient),两个变量中有一个变量或两个变量都为定序变量时，不可以用Pearson相关系数，而应该用Spearman 等级相关系数或Kendall和谐系数 即使两个变量都为定距或定比变量，当两个变量的相关形式不表现为线性关系时，有时可以表现为

45、等级相关,Spearman等级相关系数 (计算公式), Spearman等级相关系数,其中，di（xi-yj),xi和yj分别是两个变量按大小排列的等级，n为样本容量 Spearman等级相关系数与Pearson相关系数具有类似的性质和相关检验方法 等级相关例题,复相关系数与偏相关系数,复相关系数, 复相关系数：反映一个变量y与其它多个变量之间线性相关程度的指标,式中用 代替x x xk, 应用时多用多元线性回归方程的可决系数的根号直接求得，其值介于到之间，无正负之分,偏相关系数,偏相关系数：在对其他变量的影响进行控制的条件下，衡量多个变量中某两个变量之间的线性相关程度。 例如收集南京市80年

46、至2006年的牛奶消费量和价格资料会发现牛奶的消费量随价格上涨而增加的伪相关现象,解释是因为人们的收入增加,所以,应该计算在收入不变的情况下消费量和价格的关系,即偏相关系数。,偏相关系数,设有k个变量x x xk, ，则第一个变量与第j个变量间的偏相关系设数为例题,式中 是Y对Xj的偏回归系数 是Xj对Y的偏回归系数,相关指数,相关指数,相关指数：判断变量之间是否显著存在某种类型的非线性相关关系的尺度,即对非线性回归模型进行拟合时所得到的可决系数 相关指数例题,本章小结（要求）,了解相关分析和回归分析的含义，步骤 掌握一元回归模型、回归方程、估计方程方程的拟合优度，回归显著性检验，利用回归方程进行估计和预测 了解多元回归模型相关分析，掌握调整的可决系数的意义，了解多重共线性 掌握可线性化的常见非线性函数形态和线性化的方法，了解非线性回归的注意事项 掌握各种相关系数的意义和应用场合，掌握Pearson相关系数的计算 会用EXCEL,SPSS进行相关和回归分析,结 束,