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1、第五章 矩阵,5.1 矩阵的运算,5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式,5.3 矩阵的分块,5.1 矩阵的运算,学习目标:,掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质 2. 能熟练地对矩阵进行运算。 3. 掌握转置矩阵及其运算性质。 4. 掌握方阵的幂、方阵的多项式。,一、认识矩阵,1、定义：设F是数域, 用F的元素 排成的m行n列的数表,二、矩阵的运算,1、定义 (矩阵的数乘) ： 给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为,A和B加法定义为:,返回,即：A和B的乘法定义为,4、由矩阵的定义可以看出:,当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时, 两个矩阵才可以相乘。,乘积矩阵AB中第
2、i行第j列的元素 等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素乘积之和。简记作前行乘后列。,1、,2、,返回,想一想:,两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？,矩阵要满足什么条件才能相乘呢？,矩阵的乘法是否满足交换律呢?,1.,2.,3.,三、 矩阵的运算性质,1、矩阵满足如下运算规律（其中A，B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）：,(1) 加法交换律,(2) 加法结合律,(3) 零矩阵,(4) 负矩阵,(5) 数乘结合律,(6) 数乘分配律,(7) 乘法结合律,(8) 乘法分配律,注意: 矩阵的乘法不满足交换律,四、方阵的多项式,1、单位矩阵 :主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为
3、单位矩阵, 记为,或,2、A的方幂:,规定:,3、设,那么,五、矩阵的转置,1、定义: 设,2、转置有下面的性质:,(9),(10),(11),5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式,学习目标 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。 3 了解初等矩阵与初等变换的关系,一、可逆矩阵的定义,1、定义： A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB = BA = I 称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.,（1）例：,A与B互为逆矩阵.,（2)注：有零行或零列的矩阵不可逆.,二、可逆矩阵的性质,1、A可逆，则A的逆矩阵唯一。,
4、证： 设B,C均为A的逆矩阵 ，则 AB = BA =I,AC = CA =I B = BI = BAC =（BA）C = IC = C,证： 注意到 即得.,证：注意到 即得.,4、A可逆，则,3、A，B可逆，则AB也可逆，且 .,三、初等矩阵的定义、性质,1、定义： 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.,（1）例如：,2、定理： 对A作初等行变换相当于用同类型的初等 矩阵左乘A; 对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵 右乘A。,、交换A的i ，j 行相当于用 .,、把A的第i 行乘以数k 相当于用 .,、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 .,3、定理： 初等矩阵
5、可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且,4、引理： ，则 . （初等变换不改变可逆性）.,5、定理： 任一mn矩阵A总可以通过初等变换化为,证： 由定理知，A可通过行及列变换化为,对（*）作第三种列变换即可化为,四、矩阵可逆的判别,1、n 阶矩阵A 可逆,则 可逆， 无零行，即 . 反之，若AI，由I可逆知A可逆., AI，即IA 即存在初等矩阵 使,注 A可逆,则A可经初等行变换化为I., 由 AI，,五、 逆矩阵的求法, 行初等变换法,A可逆，由 ，即存在初等矩阵 ，使,即,例：, 公式法,分析：设,则由行列式的依行依列展开公式,，有,即,若A可逆，则|A|0，从而,即,例：求矩阵 的逆矩阵.,解
6、法一 利用公式,因为,计算每个元素 的代数余子式,所以,解法二 行初等变换法.,所以,例： 解矩阵方程 其中,解 ： 显然A是可逆的.先求出,再在原方程两边左乘 得,所以,六、矩阵乘积的行列式,1、引理：n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵, 若A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使A的左上角的元素不为零.,继续作第三种初等变换，则可将A化为对角形矩阵，且,2、定理：设A，B为n 阶矩阵，则 |AB| = |A| |B|,证：, 若A为对角矩阵,从而,3、推广 ：,相当于对 作第三种行初等变换. 故,4、定理： A，B为mn及np阶矩阵，则秩（AB）秩A，秩（AB）秩B.
7、特别当A可逆时，秩（AB）= 秩B.,5、推论：,例： A可逆，则存在 n 阶可逆矩阵P，Q，使 PAQ = I,证：A可逆，则,学习目标： 1 掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算 2 掌握分块准对角,分块三角阵,分块次对角等特殊的分块矩阵及相关公式,5.3 分块矩阵,一、分块矩阵的概念,1、定义：,将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块(或子阵), 以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。,例如：,1. 线性运算,（加法与数乘）,二. 分块矩阵的运算,2. 乘法运算,例 设,解：为了求乘积AB，我们可以对A，B如下地分块,这里I 是二阶单位矩阵，O 是二阶零矩阵.,按照分块矩
8、阵的乘法，我们有,这里,3. 转置运算,1. 准对角阵,则,三. 特殊的分块阵,求A的行列式及逆。,解 ： 将矩阵分块,例：,2. 分块三角阵：,性质：,解：将矩阵分块,例3,解：将矩阵分块,例3,3. 分块次对角阵,性质：,小结: 一.分块矩阵的概念 将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。 注意：分块矩阵是以子块为元素形成的矩阵，且 子块也是矩阵。 作用：简化高阶矩阵运算 简化运算的表达形式,二.分块矩阵的运算: 1. 线性运算 2. 乘法运算 将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求 相应的子块间也应符合运算的要求 3. 转置运算. 注意：大块小块一起转,三. 特殊的分块矩阵 准对角, 分块三角阵 分块次对角 一些重要公式,