第五章矩阵的对角化及二次型.ppt

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1、第五章 矩阵的对角化及二次型,1 向量的内积与施密特正交化方法,向量的内积,定义：设有n 维向量 令 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ， 则称 x, y 为向量 x 和 y 的内积 说明： 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y ,定义：设有 n 维向量 令 则称 x, y 为向量 x 和 y 的内积,向量的内积,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为

2、 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0； 当 x 0（零向量） 时， x, x 0 施瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y

3、, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0； 当 x 0（零向量） 时， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0,x, y = x1

4、y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0； 当 x 0（零向量） 时， x, x 0 施瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,回顾：线段的长度,x1,x2,x1,x2,x3,P(x1, x2),O,P,O,若令 x = (x1, x2)T，则,若令 x = (x1, x2, x3)T，则,x, x = x12 + x

5、22 + + xn2 0,向量的长度,定义：令 称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数） 当 | x | = 1时，称 x 为单位向量 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x0（零向量） 时， | x | 0 齐次性： | l x | = | l | | x | ,向量的长度,定义：令 称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数） 当 | x | = 1时，称 x 为单位向量 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x 0（零向量） 时， | x | 0 齐次性： |

6、 l x | = | l | | x | 三角不等式： | x + y | | x | + | y |,x,y,x + y,y,向量的正交性,施瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y = | x | | y | 当 x 0 且 y 0 时， 定义：当 x 0 且 y 0 时，把 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角 当 x, y = 0，称向量 x 和 y 正交 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交,x,y,定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组 定理：若 n 维向量a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, , ar

7、线性无关 证明：设 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量），那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2 从而 k1 = 0 同理可证，k2 = k3 = = kr =0 综上所述， a1, a2, , ar 线性无关,例：已知3 维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交 分析：显然a1a2 解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1a3

8、， a2a3 ，则 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0,得 从而有基础解系 ，令 ,定义： n 维向量e1, e2, , er 是向量空间 中的向量， 满足 e1, e2, , er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, , er 两两正交； e1, e2, , er 都是单位向量， 则称 e1, e2, , er 是V 的一个规范正交基 例： 是 R4 的一个规范正交基,也是 R4 的一个规范正交基,是 R4 的一个基，但不是规范正交基,设 e1, e2, , er

9、是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一 个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + + lrer 于是 特别地，若 e1, e2, , er 是V 的一个规范正交基，则 问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, , ar 向量空间 V 中的一个规范正交基 e1, e2, , er,？,求规范正交基的方法,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令,a1,b1,a2,a3,c2,b2,c3,c31,c32,b3,基,正交基,规范正交基,b1,c2,a2,b2,返回,令 c2 为 a2 在 b1

10、上的投影，则 c2 = l b1 ， 若令 b2 = a2 c2 = a2 l b1 ，则 b1b2 下面确定l 的值因为 所以 ，从而,a2b1,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令 于是 b1, b2, , br 两两正交，并且与a1, a2, , ar 等价，即 b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基 特别地，b1, , bk 与a1, , ak 等价（1 k r）,第二步：单位化 设 b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基，那么令 因为 从而 e1, e2, , er 是

11、向量空间 V 中的一个规范正交基,例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化 解：第一步正交化，取,例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化 解：第二步单位化，令,例：已知 ，试求非零向量a2, a3 ，使a1, a2, a3 两两正交. 解：若a1a2 ， a1a3 ，则 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 即a2, a3 应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基础解系为 把基础解系正交化即为所求,（以保证 a2a3 成立）,定义：如果 n 阶矩阵 A 满足

12、ATA = E， 则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵,即 A1 = AT，,于是 从而可得 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交,即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基,定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基. 因为ATA = E 与AAT = E 等价，所以,定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵 方阵A 为正交阵

13、的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向量，且两两正交,即 A 的行向量组构成Rn 的规范正交基.,例：正交矩阵,R4 的一个规范正交基,正交矩阵具有下列性质： 若 A 是正交阵，则 A1 也是正交阵，且|A| = 1 或1 若 A 和B是正交阵，则 A 和 B 也是正交阵 定义：若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换 经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保 持不变），这就是正交变换的优良特性,表示一个从变量 到变量 线性变换， 其中 为常数.,n 个

14、变量 与 m 个变量 之间的 关系式,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,返回,2 特征值与特征向量,引言,纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB) Ax = l x ? 例：,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 例： 则 l = 1 为

15、 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量.,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (AlE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | AlE | = 0,特征方程,特征多项式,特征方程 | AlE | = 0 特征多项式 | AlE |,二、基本性质,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算） 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,

16、l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|,例：求矩阵 的特征值和特征向量 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 ,k p1（k 0）就是对应的特征向量,例：求矩阵 的特征值和特征向量 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 ,k p2（k 0）就是对应的特征向量,例：求矩阵 的特征值和特征向量 解： 所以 A 的特征

17、值为 l1 = 1，l2 = l3 = 2 ,例：求矩阵 的特征值和特征向量 解（续）：当 l1 = 1 时，因为 解方程组 (A + E) x = 0 解得基础解系 ,k p1（k 0）就是对应的特征向量,例：求矩阵 的特征值和特征向量 解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为 解方程组 (A2E) x = 0 解得基础解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量,二、基本性质,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算） 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 +

18、 a22 + + ann l1 l2 ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系 就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组,例：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值 结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p 当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值，对应的特征向量仍然是 p ,二、基本性质,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数

19、计算） 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系 就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值,例：设3 阶方阵 A 的特征值为1, 1, 2，求 A* +3A2E 的特征值 解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1

20、+3A2E = j (A) 其中|A| = 1(1) 2 = 2 设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量令 则,定理：设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是与之对应的特征向量，如果l1, l2, , lm 各不相同，则 p1, p2, , pm 线性无关 例：设 l1 和 l2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征 向量依次为 p1 和 p2， 证明 p1 + p2不是 A 的特征向量,3 相似矩阵,定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P 1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩

21、阵A 和 B 相似 对 A 进行运算 P 1AP 称为对 A 进行相似变换 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同 证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP = B 于是 | B lE | = | P 1AP P 1(lE) P | = | P 1(AlE ) P | = | P 1| |AlE | |P | = |AlE | ,定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同 推论：若 n 阶矩阵 A

22、 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似 证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP = B ，则P 1AkP = Bk . 设j (x) = cmxm + cm1xm1 + + c1x + c0，那么 P 1 j (A) P = P 1 (cmAm + cm1Am1 + + c1A + c0 E) P = cm P 1 Am P + cm1P 1 A m1 P + + c1 P 1 A P + c0 P 1 EP = cmBm + cm1Bm1 + + c1B + c0 E = j (B) .,定理：设 n 阶矩阵 L = diag(l1, l2,

23、 , ln )，则l1, l2, , ln 就 是 L 的 n 个特征值 证明： 故 l1, l2, , ln 就是 L 的 n 个特征值,定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同 推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似 若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，则 从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A). 若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩阵）.,可逆矩阵 P ，满足 P

24、 1AP = L （对角阵）,AP = PL,Api = li pi (i = 1, 2, , n),A 的 特征值,对应的 特征向量,其中,?,P.123定理4： n 阶矩阵 A 和对角阵相似 当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量,推论：如果 A 有 n 个 不同的特征值，则 A 和对角阵相似,4 实对称矩阵的对角化,定理：设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，则 p1, p2, , pm 线性无关 （P.120定理2）,可逆矩阵 P ，满足 P 1AP = L （对角阵）,

25、AP = PL,Api = li pi (i = 1, 2, , n),A 的 特征值,对应的 特征向量,其中,?,(Ali E) pi = 0,矩阵 P 的 列向量组 线性无关,定理：设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，则 p1, p2, , pm 线性无关（P.120定理2） 定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似 说明：当 A

26、 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化（P.118例6）,定理：设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，则 p1, p2, , pm 线性无关（P.120定理2） 定理：设 l1 和 l2 是对称阵 A 的特征值， p1, p2 是对应的特 征向量，如果 l1 l2 ，则 p1, p2 正交（P.124定理6） 证明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T =

27、p1T A T = p1T A （A 是对称阵） l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 l2) p1T p2 = 0 因为l1 l2 ，则 p1T p2 = 0，即 p1, p2 正交,定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P 1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7）,定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 （P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征

28、值，则 A 和对角阵相似 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化,定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 （P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化,推论：设 A 为 n 阶对称阵，l 是 A 的特征方程的 k 重根，则 矩阵 A lE 的秩等于 n k， 恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应,例：设 ，求正交阵 P，使P1AP

29、 = L对角阵. 解：因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化 求得 A 的特征值 l1 = 2， l2 = l3 = 1 ,当 l1 = 2 时， 解方程组 (A + 2E) x = 0 ，得基础解系 当 l2 = l3 = 1 时， 解方程组 (AE) x = 0 ，得 令 ，则 . 问题：这样的解法对吗？,当 l1 = 2时，对应的特征向量为 ； 当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为 . 显然，必有x1x2 ， x1x3 ，但x2x3 未必成立 于是把 x2, x3 正交化： 此时x1h2 ， x1h3 ，h2h3 ,单位化： 当 l1 = 2时，对应的特征向量为 ； 当 l

30、2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为 .,当 l1 = 2时，对应的特征向量为 ； 当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为 于是 p1, p2, p3 构成正交阵 从而 ,把对称阵 A 对角化的步骤为： 求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, , ls ，它们的重数依次为k1, k2, , ks （k1 + k2 + + ks = n） 对每个 ki 重特征值 li ，求方程组 | Ali E | = 0 的基础解系，得 ki 个线性无关的特征向量 把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki 个两两正交的单位特征向量 因为k1 + k2 + + ks

31、= n ，总共可得 n 个两两正交的单位特征向量 这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有 P 1AP = L L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.,例：设 ，求 An . 分析： 数学归纳法,定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同 推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似 若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，则 从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A). 若j (l)

32、= | AlE |，那么 j (A) = O（零矩阵）.,例：设 ，求 An . 分析： 数学归纳法 因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化 求得 A 的特征值 l1 = 1， l2 = 3 下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵 P ,下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵 P 当 l1 = 1 时， 解方程组 (AE) x = 0 ，得基础解系 当 l2 = 3 时， 解方程组 (A3E) x = 0 ，得基础解系 问题：是否需要单位化？ 于是 Ap1 = p1， A p2= 3 p2，即 若 ，则 ,于是 ，即,5 二次型与对称矩阵,投影变换,例 2阶方阵,以原点为中心逆时针 旋转j

33、角的旋转变换,例 2阶方阵,解析几何中，二次曲线的一般形式 ax2 + bxy + cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换 使得 mx 2 + ny 2 = 0 定义：含有 n 个变量 x1, x2, , xn 的二次齐次函数 称为二次型,令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是,对称阵,对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,对称阵的 二次型,二次型 的矩阵,对于二次型，寻找可逆的线性变换 使二次型只含平方项，即 f = k1 y12 + k2 y22 + + kn yn2 定义：只含

34、平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）. 如果标准形的系数 k1 , k2 , , kn 只在1, 0, 1三个数中取值, 即 f = k1 y12 + + kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的规范形 说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.,简记为 x = C y ， 于是 f = xTAx = (C y)T A (C y) = yT (CTAC) y,定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P 1AP = B ， 则称矩阵A 和 B 相似（P.121定义7） 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足

35、 CTAC = B ， 则称矩阵A 和 B 合同（P.129定义9） 显然， BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B 即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵 R(B) = R(A) 经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC，且二次型的秩不变,若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即,问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵, （把对称阵合同对角化）,定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵 定理：设 A 为 n 阶对称阵，则

36、必有正交阵 P，使得 P 1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7） 定理：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 正交变换 x = P y ，使 f 化为标准形 f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + + ln yn2 其中 l1 , l2 , , ln 是 f 的矩阵 A 的特征值 推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 可逆变换 x = C z ，使 f (Cz) 为规范形,推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A =

37、AT） ，总存在 可逆变换 x = C z ，使 f (C z) 为规范形 证明： f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + + ln yn2 若R(A) = r，不妨设 l1, l2, , lr 不等于零， lr+1 = = ln =0, 令 则 K 可逆，变换 y = Kz 把 f (P y) 化为 f (PKz) = (PKz)T A (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTKz 其中,例：求一个正交变换 x = P y ，把二次型 f = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 化为标准形 解：二次型的矩阵 根据P.125例12的结果，有正交阵 使得 于是正交变换 x = P y 把二次型化为标准形 f = 2y12 + y22 + y32,如果要把 f 化为规范形，令 ，即 可得 f 的规范形：f = z12 + z22 + z32,