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1、可分离变量的微分方程,第二节,一阶微分方程的一般形式：,（变量 与 对称）,若将 看作未知函数，则有,若将 看作未知函数，则有,对称形式：,讨论一阶微分方程的解法,一、可分离变量的微分方程,均可化为(1)的形式.,例如：,形如：,或,问题：,对方程两边积分：,设 及 依次为 及 的原函数，,可分离变量方程的解法分离变量法：,由于关系式(2)含有任意常数，故称为 （隐式）通解.,称为微分方程(1)的（隐式）解。,于是有,将方程分离变量：,例1 求解微分方程,解,分离变量：,两端积分,也是解， 可与通解 合并为,例2 求解微分方程,解,分离变量：,两端积分：,满足初始,条件,的特解.,解,由题设条
2、件，有,(1) 建立微分方程和定解条件：,初值问题,衰变规律,分离变量,两边积分,（2）解微分方程：,利用死亡生物体内放射性同位素碳14,的衰变规律，推测生物体的死亡,时间，用于考古、刑侦等方面.,放射性物质都具有类似的衰变规律：,假设某人每天的饮食可产生,热量，用于基本新陈代谢每天所消耗的热,量为,，用于锻炼所消耗的热量为,为简单计，假定增加（或减少）体重所需热量,全由脂肪提供，脂肪的含热量为,求此人体重随时间的变化规律.,例4（减肥问题）,解（1）建立微分方程与定解条件：,设t 时刻（d）的体重为,根据热量平衡原理，在dt 时间内，,人的热量的改变量吸收的热量消耗的热量,因此得,则得方程,
3、设开始减肥时刻为,于是初值条件为,（2）解微分方程：,初值问题,分离变量,两边积分,得通解为,代入初值条件可得特解为,（3）由上面的结果易得如下结论：,随时间的增加，趋于常数,节制饮食,调节新陈代谢,可以达到理想体重,饮食量仅够维持新陈代谢,身体快速消瘦,危险！,只吃饭、不锻炼,身体越来越胖,危险！,要达到理想体重，或者限时减肥或增肥，,小 结,一、可分离变量微分方程,解法,然后两端积分.,将不同的变量写在等式的两端，,分离变量：,二、微分方程的简单应用,用微分方程解决实际问题的一般步骤：,1.建立微分方程和定解条件；,2.根据方程的类型，用相应的方法求出通解，,并根据定解条件确定特解;,3.
4、对所得结果进行具体分析，解释它的实际,意义.如果与实际相差甚远，那么就应修改,模型，重新计算.,数学模型,思考题,下列微分方程是否为可分离变量方程?,不是,是,是,作业,p.269 习题122,1. (3), (7); 2. (1), (4); 4; 6.,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,例 5,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,另一方面，设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至,比较(1)和(2)，得微分方程:,分离变量，得,可分离变量,所求规律为,积分，得,