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1、第六节 曲 率,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,第三章,一、 弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,在曲线上取固定点（如 A(x0,y0),作为度量弧长的基点,（1）曲线的正向与x增大的方向一致;,规定：,（2）对曲线上任一点M(x y) 规定,s 的绝对值等于这弧段的长度,设,在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,下面来求s(x)的导数与微分,称这样的曲线为光滑曲线,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,问题:曲线的弯曲程度如何描述?,直线:不弯曲,圆:半径越小,弯曲得 越厉害,一般的曲线: 在不同的点处, 弯曲程
2、度不同,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线上各点处的弯曲程度.,1.曲率的定义：,由此可见：,弯曲程度由方向改变的大小,以及改变这一方向所经历,的路程,这两个因素所决定.,且弯曲程度与方向改变,与改变这一方向所经历的路程成反比.,的大小成正比，,转角相同弧段越短,弯曲程度越大,),设曲线C是光滑的.,为曲线C在点M处的曲率,也表示为,对曲率定义的解释,直线不弯曲,圆的弯曲程度处处相同,圆的半径越小,K越大,圆弯曲得越厉害.,2.曲率计算公式,又由弧微分公式,所以,解,例1,曲率的近似计算公式,例2,例2. 我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且 l R.,处的曲率.,其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,解:,显然,三、曲率圆与曲率半径,注意,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,