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1、,78 空间直线及其方程,一、空间直线的一般方程,二、空间直线的对称式方程与参数方程,三、两直线的夹角,四、直线与平面的夹角,五、杂例,方向向量、,直线的对称式方程、,直线的参数方程,两直线的夹角及夹角余弦、,两直线平行与垂直的条件,直线与平面的夹角、,夹角正弦,直线与平面平行与垂直的条件,平面束,一、空间直线的一般方程,空间直线L可以看作是两个平面 1和 2的交线,如果两个相交平面 1和 2的方程分别为,A 1xB 1yC 1zD 10和A 2xB 2yC 2zD 20，,那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组,反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组因此， 直线L可以
2、用上述方程组来表示,上述方程组叫做空间直线的一般方程,二、空间直线的对称式方程与参数方程,方向向量：,如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量,s,二、空间直线的对称式方程与参数方程,方向向量：,如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量,为已知时，直线L的位置就完全确定了,确定直线的条件：,当直线L上一点M0(x0，y0，x0),sm，n，p,和它的一方向向量,s,方向向量：,如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量,为已知时，直线L的位置就完全确定了,确定直线的条件：,当直线L上一点M0(x0，y0，x
3、0),和它的一方向向量,sm，n，p,s,二、空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式方程：,设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s m, n, p,为已知，,再设点M (x, y, z) 为直线L上的任一点，,与L的方向向量 s 平行,从而有,所以两向量的对应坐标成比例，,由于,sm，n，p，,此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程,s,那么向量,xx 0，yy 0，zz 0，,直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向 数，而向量的方向余弦叫做该直线的方向余弦,方向数：, t，,直线的参数方程：,设,这个方程组就是直线的
4、参数方程,那么,例1 用对称式方程及参数方程表示直线,解 令x1，有,所求直线的方向向量可取为,解此方程组，得y0，z2，,于是得直线上的一点(1，0，2),平面x + y + z + 1=0和2x - y + 3z + 4= 0的法线向量分别为,n11，1，n22，1，3,sn1 n2,4ij3k,得所给直线的参数方程为,令,所给直线的对称式方程为,例1 用对称式方程及参数方程表示直线,解 令x1，有,所求直线的方向向量可取为,解此方程组，得y0，z2，,于是得直线上的一点(1，0，2),平面x + y + z + 1=0和2x - y + 3z + 4= 0的法线向量分别为,n11，1，n
5、22，1，3,sn1 n2 4ij3k,两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1m1，n1，p1和n2m2，n2，p2， 那么L1和L2的夹角j 就是(s1,s2)和(s1,s2)p (s1,s2)两者中的锐 角，因此cos j |cos(s1,s2)|,三、两直线的夹角,来确定,直线L 1和L 2的夹角j可由,cos j,两直线L 1、L 2互相平行或重合相当于,从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：,两直线L 1、L 2互相垂直相当于,m 1m 2n 1n 2p 1p 20；,设两直线的夹角为j ，则,解,两直线的方向向量分
6、别为,cos j,s11，4，1和s22，2，1,例2,四、直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时，,直线和它在平面上的投影直线的夹,当直线与平面垂直时，,)j,角j(0 j )称为直线与平面的夹角，,规定直线与平面的夹角为 ,因此,sin j,sin j | cos(s,n) | 按两向量夹角余弦的坐标表示式，有,设直线的方向向量和平面的法线向量分别为 sm，n，p，nA，B，C，,直线与平面的夹角为j ，那么j | (s,n)|，,因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线 向量平行，所以，直线与平面垂直相当于,因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向 量与平面的法线向量
7、垂直，所以，直线与平面平行或直线在平 面上相当于 A mB nC p0,由此可得所求直线的方程为,例3 求过点(1，2，4)且与平面2x3yz40垂直的直线的 方程,解 平面的法线向量2，3，1可以作为所求直线的方向向,量,五、杂例,于是所求直线的方程为,例4 求与两平面 x4z3 和 2xy5z1 的交线平行且过点 (3，2，5)的直线的方程,解 平面x4z3和2xy5z1的法线向量分别为,两平面交线的方向向量为,此向量可作为所求直线的方向向，,n11，0，4，n22，1，5，,(4i3jk)，,sn1 n2,x1，y2，z2,解 所给直线的参数方程为,x2t，y3t，z42t，,代入平面方
8、程中，得,2(2t)(3t)(42t)60,解上列方程，得t1,将t1代入直线的参数方程，得所求交,点的坐标为,例5,例6 求过点(2，1，3)且与直线,垂直相交的直线的方程,例6 求过点(2，1，3)且与直线,垂直相交的直线的方程,解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为,3(x2)2(y1)(z3)0,再求所作平面与已知直线的交点，,令,= t,得参数方程,x13t ，y12t ，zt ,得,将 代入参数方程，,所求直线的方程为,例6 求过点(2，1，3)且与直线,垂直相交的直线的方程,解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为,3(x2)2(y1
9、)(z3)0,再求所作平面与已知直线的交点，,考虑三元一次方程： A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0， 即 A 1lA 2)x(B 1lB 2)y(C 1lC 1)zD 1lD 20，,设直线L的一般方程为,平面束：,另一方面，任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平,对于任何一个l值，上述方程都表示一个平面，而且这些平面都,也就是说，这个方程表示通过直线L的一族平面,通过直线L ,通过定直线的所有平面的全体称为平面束,面族中,方程 A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0就是通过 直线L 的平面束方程,A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0,L,例7 求直线,在平面xyz0上的投影直线,的方程,例7 求直线,在平面xyz0上的投影直线,(xyz1)l(xyz1)0，,解 设过已知直线的平面束的方程为,即 (1l)x(1l)y(1l)z(1l)0，,其中l为待定的常数这平面与平面xyz0垂直的条件是 (1l)1(1l)1(1l)10，,2y2z20，,将l1代入平面束方程得投影平面的方程为,即l1,所以投影直线的方程为,即 yz10,的方程,