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1、1,第15章 对策论,2,对策论（game theory）简介,1928年, 德国数学家冯诺依曼(John von Neumann， 1903.12.28.-1957.2.8)创立了二人零和博弈理论. 1944年, 冯诺伊曼邀请在普林斯顿工作的 奥地利经济学家莫根斯坦因(Morgensten) 共同研究博弈论在经济领域中的应用, 两 人合著了博弈论与经济行为，经济学 领域的革命，成为“博弈论”的经典著作， 也成为“数理经济学”的奠基石 . 1950年, 22岁的Nash(1928-)以Non-cooperative Games为题的27页博士论文毕业, 建立了非合 作博弈的纳什均衡理论, 对经
2、济理论具有划时 代意义.,3,如果问上个世纪谁是希尔伯特之后最伟大的数学家？ 数学界的绝大多数学者会毫不犹豫地把票投给约翰冯诺伊曼. 他出生于匈牙利布达佩斯一个犹太家庭, 父亲是位银行家, 为了挤 入上层社会, 花钱买了个爵位, 于是他们的姓氏前面加上了个“冯” 字，那是对贵族的尊称. 精通七种语言, 是现代电子计算机创始人（之一）,“数理经济学” 的奠基人, 他在计算机科学、经济、量子力学以及几乎所有数学 领域都作过重大贡献. 6岁能心算8位数除法. 年少的他只需要慢慢地看一遍，就能把电 话簿上整页的姓名和电话号码记住，过目不忘. 8岁学会了微积分，当今理工科大学生的重要基础课. 12岁弄懂
3、了函数论，一门数学系三年级的课程.,4,15.1 对策问题三要素及分类,一、对策问题三要素 引例: 田忌与齐王赛马 1.局中人：有权决定自己策略(行动方案)的对策参加者, 用Pi 表示第 i 个局中人. 2.策略集：局中人 Pi 的所有策略的集合, 用 Si 表示第 i 个局中 人的策略集. 3.赢得函数(赢得)：一局对策结束后, 局中人所获得的结果.,二、对策问题分类 1. 按局中人的个数分: 二人对策与 n人对策. 2. 按局中人策略的个数分: 有限对策与无限对策. 3. 按各局中人赢得之和是否为0分: 零和对策与非零和对策. 4. 按局中人是否合作分: 合作对策与非合作对策. 5. 按决
4、策过程是否与时间有关分: 静态对策与动态对策.,5,当 P1 选定纯策略i , P2选定纯策略j后, 就形成一个局势(i , j), 共有 mn 个局势. 对任一局势(i , j), 记P1 的赢得为aij , P2的赢 得为-aij , 称,15.2 矩阵对策,一、矩阵对策的数学模型,1. 矩阵对策, 即二人有限零和对策. 2. 设局中人P1 有 m 个纯策略, 即,局中人P2有 n 个纯策略, 即,为P1的赢得矩阵, 即P2的付出矩阵. 显然, -A为P2的赢得矩阵.,通常将矩阵对策记为G = S1, S1, A.,6,15.2 矩阵对策,二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略,1. 悲观准则
5、(最大最小赢得准则与最小最大付出准则),例 已知矩阵对策G = S1, S1, A, 其中,求: 局中人P1 , P2 的最优纯策略.,7,15.2 矩阵对策,二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略,1. 悲观准则(最大最小赢得准则与最小最大付出准则),2. 最优纯策略与鞍点,8,二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略,1. 悲观准则(最大最小赢得准则与最小最大付出准则),2. 最优纯策略与鞍点,3. 纯策略意义下有解的充要条件,9,二、有鞍点的矩阵对策及其最优纯策略,1. 悲观准则(最大最小赢得准则与最小最大付出准则),2. 最优纯策略与鞍点,3. 纯策略意义下有解的充要条件,4. 有鞍点情况下的多
6、重解,例 已知矩阵对策G = S1, S1, A, 其中,求: 对策G 的解和值.,10,三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略,例 已知矩阵对策G =S1, S2, A，其中S1=1, 2, S2=1, 2,求对策G的鞍点.,无鞍点，即对策在纯策略意义下无解.,1. 混合策略与混合扩充 设矩阵对策G =S1, S2, A,其中S1=1, ,m, S2=1, ,n, A=(aij)m n.将纯策略S1, S2上对应的概率向量X=x1, ,xm和 Y=y1, ,yn分别称为局中人P1, P2的混合策略(或策略), (X,Y) 称为混合局势(或局势),11,三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略,1.
7、 混合策略与混合局势 设矩阵对策G =S1, S2, A,其中S1=1, ,m, S2=1, ,n, A=(aij)m n.将纯策略S1, S2上对应的概率向量X=x1, ,xm和 Y=y1, ,yn分别称为局中人P1, P2的混合策略(或策略), (X,Y) 称为混合局势(或局势),2. 混合扩充 将局中人P1, P2各自的所有混合策略的集合分别记为 S1* =XEm, S2* =YEn. 称期望函数,为局中人P1的赢得函数, 称G*=S1* , S2* ,E为对策G的混合扩充.,12,三、无鞍点的矩阵对策及其最优混合策略,3. 最优混合策略与混合策略意义下的解 设G*=S1* , S2* ,E为矩阵对策G =S1, S2, A的混合扩充，若,则 称使上式成立的混合策略X*, Y*分别为局中人P1, P2的最优混合策略. 称混合局势(X*, Y*)为对策G在混合策略意义下的解(或平衡 局势). (3) 称上式的值为对策G在混合策略意义下的值, 记作VG,4. 混合策略意义下解的存在性 任一矩阵对策G =S1, S2, A一定存在混合策略意义下的解.,13,