第十三章材力的基本内容.ppt

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1、第十三章 材力的基本内容,学习与应该掌握的内容 材料力学的基本知识 基本变形的主要特点 内力计算及内力图 应力计算 二向应力状态及强度理论 强度、刚度设计,材料力学的基本知识,材料力学的研究模型 材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、壳和块。 杆-长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直于轴线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面相同的直杆，称为等直杆； 材料力学的主要研究对象就是等直杆。,材料力学的基本知识,变形 构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的

2、现象；变形固体的变形通常可分为两种： 弹性变形-载荷解除后变形随之消失的变形 塑性变形-载荷解除后变形不能消失的变形 材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形 变形固体的基本假设 连续性假设 假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质 均匀性假设 假设材料的力学性能在各处都是相同的。 各向同性假设 假设变形固体各个方向的力学性能都相同,材料力学的基本知识,材料的力学性能 -指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。 构件的承载能力： 强度-构件抵抗破坏的能力 刚度-构件抵抗变形的能力 稳定性-构件保持原有平衡状态的能力 内力的概念 构件在外力作用时，

3、形状和尺寸将发生变化，其内部质点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。,横截面上内力分析,其中：Mx、My、Mz为主矩在x、y、z轴方向上的分量。 FNx、FQy、FQz为主矢在x、y、z轴方向上的分量。,FNx使杆件延x方向产生轴向拉压变形，称为轴力 FQy,FQz使杆件延y,z方向产生剪切变形，称为剪力 Mx 使杆件绕x轴发生扭转变形，称为扭矩 My、Mz使得杆件分别绕y z轴产生弯曲变形，称为弯矩,利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图,横截面上内力计算-截面法,截面法求内力步骤

4、 将杆件在欲求内力的截面处假想的切开； 取其中任一部分并在截面上画出相应内力； 由平衡条件确定内力大小。,例：左图 左半部分： Fx=0 FP=FN 右半部分： Fx=0 FP,=FN,例13-1,已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面m-n上的内力,解： 1、假想从m-n面将机架截开（如图）； 2、取上部，建立如图坐标系，画出内力FN，MZ （方向如图示）。 （水平部分/竖直部分的变形？）,3、由平衡方程得： Fy=0 FP-FN=0 FN=FP Mo=0 Fp a - Mz=0 Mz =Fp a,基本变形(轴向)拉伸、压缩,载荷特点：受轴向力作用,变形特点：各横截面沿轴向做平动

5、,内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN,轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正,FN=P,基本变形-剪切,载荷特点：作用力与截面平行（垂直于轴线）,变形特点：各横截面发生相互错动,内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称 剪力FQ,剪力正负规定：左下（右上）为正 左下：指左截面（左半边物体）剪力向下,基本变形-扭转,载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）,变形特点：横截面绕轴线转动,内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩T,正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系,T=M,基本变形-弯曲（平面）,载荷特点：在梁的两端作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。

6、,变形特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。 中性轴（面）,内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩M,弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗）,正应力、切应力,应力的概念 单位面积上内力的大小，称为应力 平均应力Pm，如图所示,F A,Pm=,正应力 单位面积上轴力的大小，称为正应力；,切应力 单位面积上剪力的大小，称为切应力,应力单位为：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡) 常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2,A截面面积,单元体及简单应力状态,对于一个单元，在其相互垂直的两个面上，沿垂直于两面交线的切应力必成对出现，且大小相等，方向

7、均指向或背离两面的交线，此关系称为切应力互等定律或切应力双生定律。,在研究变形体内某一点的应力时，通常围绕该点作一个无限小的正六面体，简称 单元（体）； 此单元的各截面分别代表该点在不同方向截面的应力。 单元受力最基本也是最简单的形式有两种：单向拉压和纯剪切-简称单向应力状态（如图）,位移,构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。 如图： AA连线称为A点的线位移 角度称为截面m-m的角位移，简称转角 注意，单元K的形状也有所改变,应变,分析单元K 单元原棱长为x，u为绝对伸长量，其相对伸长u/ x的极限称为沿x方向的正应变。,a点的横向移动aa，使得oa直线产生 转角，定义转角为切

8、应变,胡克定律,实验证明： 当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线性关系， 即：= 称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：Gpa（吉帕） 同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系 即：= 此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa,钢与合金钢 E=200-220GPa G=75-80GPa 铝与合金铝 E=70-80GPa G=26-30GPa 木材 E=0.5-1GPa 橡胶 E=0.008GPa,总第十二讲,第十四章 杆件的内力 14-1 轴向拉伸或压缩杆件的内力 14-2 扭转圆轴的内力,14-1 轴向拉压杆件的内力,定义 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形

9、形式，称为轴向拉伸或压缩 内力的计算 截面法 如左图 内力的表示 轴力图-形象表示轴力沿轴线变化的情况,轴力图,例14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。,解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图14-1-2所示 Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN,2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图14-1-3所示 Fx=0 FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN （负号表示所画FN2方向与实际相反）,3)图14-1-4位AB杆的轴力图,轴力图,为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直

10、方向的另一个坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图。,14-2 扭转圆轴的内力,扭转变形的定义 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转 以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴 本课程主要研究圆截面轴 功率、转速和扭矩的关系 M=9549 扭矩图 仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就是扭矩图。,其中： M为外力矩(N.m) P为功率(kW) n转速(r/min),例14-2 扭矩图,如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图,解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9

11、459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m,2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图a)、b)、c);均有Mx=0 得： T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m MD-T3=0 T3=MD=446N.m,3)画出扭矩图如 d),总第十三讲,14-3 弯曲梁的内力 14-4 弯曲梁的内力图-剪力图和弯矩图,14-3 弯曲梁的内力,弯曲梁的概念及其简化 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线

12、将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。,常见梁的力学模型 简支梁 一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座,外伸梁 一端或两端伸出支座支外的简支梁,悬臂梁 一端为固定端，另一端为自由端的梁。,梁内力的正负规定,梁的内力 剪力FQ 弯矩MC,梁内力的正负规定 内力方向,梁的变形,14-3 弯曲梁的内力例,例14-3 简支梁如左图，已知a、q、M=qa2；求梁的内力,FAy,FBy,1,2,3,2）1-1截面内力：(0x1 a),3）2-2截面内力： (ax22a),解：1）求得A、B处反力FAY,FBY；,续例14-3,4）3-3截面内力：

13、(0 x3 a，此处x3的起点为B点，方向如图),14-4内力图-剪力图,1.当：0x1a 时 AC段 FQ1=5q.a/6,2.当：ax22a 时,即CD段 FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直线 x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 （= FQ1 ） x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 （= FQ3 ）,3.当： 0x3a (起点在B点） FQ3=-q.a/6,14-4内力图-弯矩图,当：0x1a 时， M1=5q.a.x1/6为直线,当：ax22a 时，为二次曲线； M2=5qax2-q(x2-a)2/2,当： 0x3a时（原点在B点，方向向左），M3为直线 M3=qa2+q.a.

14、x3/6;,典型例题-1,已知：G,a,b,l,画梁AB内力图,解：1求A,B支座反力( a+b=l ),2求x截面内力 a) 0xa,b) axl,典型例题-1(续),根据以上条件，画出剪力图、弯矩图 最大剪力Qmax在AC(ba)（或CB,ab）段 Qmax=Gb/l 最大弯矩在C截面处 Mmax=Gab/l,本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即： FQ=FQ(x) Mc=M(x),典型例题-2,简支梁受力偶作用,求支座反力FAY,FBY得： FAY=- FBY =M/l,AC段X截面处剪力FQ=Fay, 同理可求得BC段剪力与

15、AC段相同，剪力图如左,AC段弯矩方程M1 M1=FAYx=M x /L,BC段弯矩方程M2 M2=FAY x-M=M(x - L)/L,典型例题-3,悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图,写出A点x处截面的剪力方程和弯矩方程,剪力图、弯矩图如右，最大剪力、弯矩均发生在B点，且,M、FQ与q的关系,设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。,取x处一小段dx长度梁，如图，由平衡方程得： Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0(a) MC=0; M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0(b) 在上式中略去高阶微量后，得,使用

16、关系式画FQ、M图,例题-7,M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m,解：,求A、B处支反力 FAY=3.5kN;FBY=14.5KN,剪力图：如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q0,FQB=-8.5kN BD：q0,FQB=6kN,弯矩图： AC：q=0,FQC0,直线,MC=7KN.M CB：q0,抛物线,FQ=0,MB=6.04 BD：q0,开口向下，MB=-6kN.m,作业(解答),作业 2004.3.25,14-5 (c) 14-8 (c),14-5（c）解答,AC: FQAC=-qx; |FQACmax|=qa/2 MQAC=-qx2/2; |MQACma

17、x|=qa2/8,BC:(B点为圆点，x向左） FB=qa/2-qa/8=3qa/8 FQBC=qx-FB=q(8x-3a)/8 FQBC=0,x=3a/8 MBC=q(3ax-4x2)/8; MBC|x=3a/8=9qa2/1280; MBC|x=3a/4=0,14-8（c）解答,A、B支反力： FA=qa/2; FB=5qa/2,AB段：q0；斜直线（左上右下） A点：FQA=FA=qa/2； B点：FQB=FA-2qa=-3qa/2 D点：FQAB=0；x=a/2 BC段：q=0；直线（水平） C点：FQC=F=qa=FQB,弯矩图：AB段：q0；抛物线，上凸 A点： MC=0， D点：

18、 MD= FA a/2 q.a2/8=qa2/8 B点： MB=FA.2a-2qa2=-qa2； BC段:q=0 直线（左下右上） MC=0,MB=-F.a=-qa2,D,第15章 杆件的应力与变形,总第十四讲,第一讲 15-1轴向拉压杆件的应力与变形 第二讲 15-2扭转圆轴的应力与应变 第三讲 15-3弯曲梁的正应力 第四讲 15-4弯曲梁的切应力 15-5弯曲梁的变形,第一讲 轴向拉压,15-1轴向拉压杆件的应力与变形 杆件轴向拉压时横截面上的应力 杆件轴向拉压时的轴向变形与变形公式 横向变形与泊松比,横截面上的应力,平面假设 杆件的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于杆的轴线。 横截面

19、上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形，故横截面上只有正应力。 两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，故横截面上各点的正应变都相等；根据胡克定律，其正应力也相等，即横截面上的正应力均匀分布。 杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公式,FN轴力 A-横截面面积,的正负号与FN相同；即拉伸为正压缩为负,例15-1,一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力,解：,求轴力FN; FN=-F=-20kN=-20x103N,求横截面面积： A1=bh=20x25=500mm2 A2=b(h-h0)=20x(25-10)=300mm2,

20、求应力 由于1-1，2-2截面轴力相同，所以最大应力应该在面积小的2-2截面上,=,FN,A,=,-20X103,300,=-66.7MPa （负号表示为压应力）,轴向变形,设等截面直杆原长l0，截面面积A0，在轴力F作用下，其长度变为l1，截面面积变为A1；其轴向绝对变形l和轴向（相对变形）线应变分别为：,l=l1-l0,直杆横截面上的正应力：,当应力不超过某一值时，正应力与线应变满足胡克定律：=E,由以上可以得到：,式中EA称为杆件的抗拉压刚度,此式称为拉压变形公式,横向变形与泊松比,如果等直杆在变形前后的横向尺寸为：b0、b1； 那么其横向绝对变形和横向线应变分别为b和; b=b1-b0

21、 = b /b0,实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小， 为负 ； 杆件轴向压缩时，横向尺寸增大， 为正；,可见， 轴向线应变和横向线应变恒为异号,实验还表明：对于同一种材料，当应力不超过某一极限时，杆件的横向线应变与轴向线应变之比为一负常数：,即：,或,比例系数称为泊松比，是量刚为一的量,例15-2 p241,一板状试样如图，已知：b=4mm，h=30mm，当施加F=3kN的拉力时，测的试样的轴向线应变=120x10-6,横向线应变=-38x10-6；试求试样材料的弹性模量E和泊松比,解：,求试件的轴力FN=F=3kN; 横截面面积A=bh=120mm2,横截面上的应力=F/A,根据胡克定

22、律=E得：,泊松比：,例15-3 p241,钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力F1=50kN，F2=20kN，杆各段长度l1=120mm，l2=l3=100mm，杆AD、DB段的面积A1、A2分别是500和250mm2，钢的弹性模量E=200GPa，试求阶梯杆的轴向总变形和各段线应变。,解：画出杆件的轴力图,求出个段轴向变形量,AC段：,CD段：,DB段：,总变形：l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm,由=L/L得：,1= -300x10-6 2= 200x10-6 3= 400x10-6,作业,P269 15-5,第二讲 扭转圆轴的应力和变形,一、圆轴扭转时横截面上的应力 切应变

23、、切应力 切应力分布 圆轴的扭转变形计算公式 截面的几何性质 二、圆轴扭转时的变形 应力计算 例15-4,总第15讲,一、圆轴扭转时横截面上的应力,平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线,横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。,横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。,各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直,推断结论：,切应变、切应力,横截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距离成正比,由剪切胡克定律可知： 当切应力不超过某一极限值时，切应力与切应变成正比。即：,横截面上任意一点的切应力

24、的大小与该点到圆心的距 离成正比，切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线,切应力分布,根据以上结论： 扭转变形横截面上的切应力分布如图a)所示,扭矩和切应力的关系：,如图b)所示： 微面积dA上内力对o点的矩为dM=dA,整个截面上的微内力矩的合力矩应该等于扭矩,即：,圆轴的扭转变形计算公式,由推导的结论式,可以得到：,或：,变形计算公式,于是有：,外边缘,最大切应力计算公式,截面的几何性质,极惯性矩p,扭转截面系数p,二、圆轴扭转时的变形,应力计算 例15-5,在图示传动机构中，功率从B轮输入，再通过锥齿轮将一半传递给铅垂轴C，另一半传递给水平轴H。 若已知输入功率P1=14kW，水平轴E和

25、H的转速n1=n2=120r/min，锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36，z2=12，图中d1=70, d2=50, d3=35.求各轴横截面上的最大切应力.,分析：,此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。,由题意可知，E、H、C轴所传递的功率分别为：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW. E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出C轴的转速为：n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min,再通过公式：,可以求得各轴所受到的外力矩,M1 M2 M3,例15-5 (续),解：,1、求各

26、轴横截面上的扭矩：,2、求各轴横截面上的最大切应力：,应力计算 习题15-10、11,如图所示,已知： M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm; AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa 1、求此轴的最大切应力 2、C截面相对于A截面的扭转角CA； 3、相对扭转角AB、 BC；,解：,1、求最大切应力 扭矩图如左： TAB=-5kN.m; TBC=-1.8kN.m 根据切应力计算公式,15-11续,2、求C截面相对A截面的扭转角,扭转角计算公式：,C截面相对A截面的扭转角为：,3、相对扭转角为：,本节要点,扭转圆轴的切应力计算公式：,扭

27、转圆轴的横截面 上切应力分布规律,相对扭转角,单位长度相对扭转角,作业,P269 15-9 15-13,总第16讲,第三讲 弯曲梁正应力 弯曲正应力公式 弯曲梁截面的最大正应力 惯性矩的平行轴定理 平行轴定理应用举例1 平行轴定理应用举例2 弯曲正应力计算 习题15-14p271 作业,第三讲 弯曲梁正应力,平面弯曲,横力弯曲,纯弯曲,剪力FQ0,弯矩M 0,剪力FQ=0,弯矩M 0,纯弯曲：,平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度,总第16讲,弯曲正应力公式,纯弯曲正应力公式推导：,如上图1、2得纵向变形：,根据胡克定律，可知：,由图3得：,

28、几何关系,物理关系,即,对照以上各式，得：,其中：Iz为截面对z轴的惯性矩,弯曲梁截面的最大正应力,由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正应力应该在其上下边缘：即|y|的最大值处.,引入弯曲截面系数Wz=Iz/ymax，最大正应力公式为：,惯性矩计算：,A 定义式：,B 积分式：,矩形截面Iz的计算： 如图,惯性矩的平行轴定理,由惯性矩的定义式可知：,组合截面对某轴的惯性矩，等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和,即：,Iz=Iz1+Iz2+Izn=Izi,设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b),如图，则其对坐标轴的惯性矩为：,对于z轴的惯性矩：,对于y轴的惯性矩：,平行轴定理应用举例1,工字

29、形截面梁尺寸如图，求截面对z轴的惯性矩。,解：,可以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以：,Iz=Iz1+Iz2+Iz3,（-）,（+）,（+）,1,2,3,Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4),平行轴定理应用举例2,求图示截面对z轴的惯性矩,解：,截面可分解成如图组合， A1=300x30=9000mm2 A2=50x270=13500mm2 yc1=-75-15=-90mm yc2=135-75=60mm,A1、A2两截面对其型心轴的惯性矩为： I1cz=300x303/12=0.675x106mm4 I2cz=50x27

30、03/12=82.0125x106mm4,由平行轴定理得： I1z= I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4 I2z= I2cz+yc22A2= 82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4 Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4,A1,A2,弯曲正应力计算 习题15-14p271,已知：A=40MPa(拉),y1=10mm; y2=8mm; y3=30mm 求： 1) B, D ；2) max(拉）,解：A=40MPa(拉),y1=10mm;,由公式：,由于A点应力为正，因

31、此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有：,最大拉应力在上半部边缘,作业,P269 15-15,总第17讲,15-4 弯曲梁的切应力 15-5 弯曲梁的变形,15-4弯曲梁的切应力,总第17讲,横力弯曲时，梁的横截面上切应力分布。,横力弯曲时，梁的横截面上切应力计算公式,例15-11,如图所示，已知6120柴油机活塞销的外径D=45mm，内径d=28mm，活塞销上的载荷作用尺寸a=34mm，b=39mm，连杆作用力F=88.4kN。求活塞销的最大正应力和最大切应力。,解：,活塞销所受的载荷简化为均布载荷，其均布集度为,剪力图如例15-11 b） FQmax=44.2kN,弯

32、矩图如例15-11 c) Mmax=1.18kN.m,(continue),已知活塞销截面为薄壁圆环，那么：,活塞销的最大正应力为弯矩最大处，即销子中心点：,由切应力近似计算公式可以得出，活塞销的最大切应力为：,15-5 弯曲梁的变形,梁弯曲变形的概念,挠度-梁的横截面形心在垂直于梁轴线方向的位移称为挠度，用w表示。 正负规定：图示坐标中上正下负,转角-梁的横截面相对于变形前后初始位置转过的角度，用表示。 正负规定：逆时针为正，反之为负,挠曲线-梁在弹性范围弯曲变形后，其轴线变成一条光滑连续曲线，称为挠曲线，其表示式为,转角与挠度w的关系,如图所示： tan =dw(x)/dx=w 即：横截面

33、的转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率,w=w(x),积分法求梁的变形,积分法求梁的变形,挠曲线公式简单推导,由前可知：,而在数学中有：,略去高阶无穷小，得到：,挠曲线近似微分方程,积分后：,式中的积分常数C、D由梁的边界条件和连续条件确定,积分法求梁的变形举例,习题15-20，q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求max，wmax；,解：,求A,B支座反力,FA=FB=ql/2=8kN,写出梁的弯矩方程（如图b)：,M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2,EIzw=M(x)=q(l-x)x/2-(1),积分后得到:,CONTINUE,习题15-20（续）,FINE,边

34、界条件：x=0, w=0；D=0； x=l , w=0；C=-ql3/24,由（1）可知： max 为 M(x)=0的点；即 x=0 和 x=l 处（A,B端点） max=Amax=Bmax=C/(EIzz)=(ql3)/(24EIzz) w=qx(l3+x32lx2)/(24EIz)； w=0；x=l/2；w x=l=5ql4/(384EIz),叠加法求梁的变形,叠加法求梁的变形,叠加法 当梁受多个载荷作用时，梁的变形是每个独立载荷作用时变形的叠加。,理论基础 （略）参见教材P261,常见简单载荷作用下梁的变形 教材P261。,叠加法求梁的变形举例习题15-22,用叠加法求图示梁B截面的转角

35、和C截面的挠度,叠加结果为,查表,作业,P272 习题15-21,总第18讲,16-1材料拉压时的力学性能 16-2轴向拉压时斜截面上的应力,16-1材料拉压时的力学性能,低碳钢拉伸时的力学性能,试件 仪器 压力实验机 游标卡尺,应力应变曲线 比例极限p 弹性极限e 屈服极限s 抗拉强度b,滑移线,颈缩,伸长率和断面收缩率,伸长率,断面收缩率,塑性材料： 5% 脆性材料：5%,铸铁拉伸 铸铁等脆性材料在拉伸时，变形很小，应力应变曲线图没有明显的直线部分，通常近似认为符合胡克定律。其抗拉强度b是衡量自身强度的唯一指标。,时衡量材料塑性的一个重要指标,低碳钢和铸铁压缩时的力学性能,低碳钢压缩,铸铁

36、压缩,名义屈服极限,对于没有明显屈服阶段的塑性材料，在工程上常以卸载后产生0.2%的残余应变的应力作为屈服应力，称为名义屈服极限，用P0.2来表示,冷作硬化 对于这种对材料预加塑性变形，而使其比例极限或弹性极限提高，塑性变形减小的现象称之为冷作硬化。,16-2轴向拉压时斜截面上的应力,轴向拉压横截面正应力计算公式 =F/A,对于和横截面有夹角的斜截面，其面积之间有关系式 A=Acos 如图2：p=F/ A=cos,将p向斜截面法向和切向分解，可得到： =pcos =psin 如图3所示,图1,图2,图3,斜截面上应力公式,即斜截面上应力公式为：,正应力公式为：,切应力公式为：,由以上公式可以看

37、出： 在横截面上，即=00 时 =max=；=0,对于如铸铁这种脆性材料，其抗拉能力比抗剪能力差，故而先被拉断,对于低碳钢这种塑性材料，其抗拉能力比抗剪能力强，故而先被剪断；而铸铁压缩时，也是剪断破坏。,当=450 时： =/2；=max=/2,应力状态概念,单元体 围绕某研究点所截取的一个微小六面体，其三个对应面上的应力情况，就是该点在空间的应力情况。 主平面 切应力等于零的平面 主应力 主平面上对应力的正应力； 1 2 3;,应力状态 单向应力状态 三个主平面上只有一对主应力不等于零。 二向应力状态 三向应力状态,广义胡克定律,胡克定律 当正应力不超过某一极限值时： =E; = -； 广义

38、胡克定律 设三向应力状态下主应力1方向的伸长应变1；主应力2 、3引起1方向的应变为1 、1，结合上式并利用叠加原理则有： 1=1- (2 +3)/E；即：,这就是广义胡克定律,二向应力状态斜截面上的应力,如图为二向应力状态：,考虑平衡可得到：,强度理论第一强度理论,强度理论 就是关于材料在不同的应力状态下失效的假设,第一强度理论（最大拉应力理论） 只要有一个主应力的值达到单向拉伸时 b，材料就发生屈服；即： 1 b；引入安全系数后，其强度设计准则（强度条件）为： r1 1， 式中： r1称为第一强度理论的相当应力； 为单向拉伸时的许用应力 实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料

39、沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或三向受压等没有拉应力的情况则不适合。,第二强度理论,第二强度理论（最大伸长线应变理论） 这一理论认为，最大伸长线应变1达到单向拉伸的极限值1jx ，材料就发生脆性断裂；即： 1=1jx ；或： 1-（ 2 + 3 ）/E = b/E； 引入安全系数：其强度设计准则为： r2= 1-（ 2 + 3 ） 式中： r2 为第二强度理论的相当应力。 实验证明，该强度理论较好地解释了石料、混凝土等脆性材料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂的现象。但是，其实验结果只和很少材料吻合，因此已经很少使用。,第三强度理论最大切应力理论,第三强度理论（最大切应力理论）

40、 材料无论处在什么应力状态下，只要最大切应力max达到了单向拉伸时切应力屈服极限s (= s /2)；材料就出现屈服破坏，即： max (13)/2;s=s/2 其强度设计准则为： r3 =1 3 式中： r3 称为按第三强度理论计算的相当应力 实验证明，这一理论可以较好的解释塑性材料出现塑性变形的现象。但是，由于没有考虑2的影响，故按这一理论设计构件偏于安全。,第四强度理论,第四强度理论（形状改变比能理论） 这一理论认为，形状改变比能Ux是引起材料发生屈服破坏的原因。也就是说，材料无论处在什么应力状态下，只要形状改变比能Ux达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能Uxs，材料就发生屈服破坏。即

41、：(p291) Ux=Uxs 其强度条件为： 式中： r4是按第四强度理论计算的相当应力。 实验证明，第四强度理论比第三强度理论更符合实验结果，因此在工程中得到广泛的应用。,强度理论的适用范围,在三向拉伸应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，都会发生断裂，应采用最大拉应力理论，即第一强度理论。 在三向压缩应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，都会屈服破坏裂，适于采用形状改变比能理论或最大切应力理论，即第四或第三强度理论。 一般而言，对脆性材料宜采用第一、第二强度理论。 一般而言，对塑性材料宜采用第三、第四强度理论。,总第19讲,17-1杆件的强度设计准则 强度失效判断 当构件承受的载荷达到一定

42、的大小时，其材料就会在应力状态最危险的一点处发生强度失效。其表现形式如：铸铁拉伸和扭转时的突然断裂、低碳钢拉伸、压缩、扭转时产生的较大的塑性变形等。 建立材料的失效判据，是通过对材料的有限试验完成的。如低碳钢材料在拉伸和压缩时，以出现显著塑性变形的屈服极限s或以出现断裂的抗拉强度 b作为材料的失效判据；而铸铁材料在拉伸和压缩时，以出现破坏的抗拉强度 b作为材料的失效判据。,许用应力和安全系数,许用应力 在工程实际中，为了保证受力构件的安全，用大于1的系数除以失效极限应力，做为构件工作应力的极限值，成为许用应力，记做：,对于塑性材料：,对于脆性材料：,对于扭转时强度失效判断则有：,其中ns、nb

43、称为塑性材料和脆性材料的安全系数,强度设计计算,杆件的强度设计 危险截面：可能最先出现强度失效的截面称为危险截面。 危险点：可能最先出现强度失效的点称为危险点。 强度设计的计算内容： 校核强度 选择截面尺寸 确定许可载荷,17-2轴向拉压杆件的强度设计,拉压杆的强度设计准则为 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的，而且各点均为单向应力状态，根据材料的失效判据，拉压杆的强度设计准则为：,式中 max为拉压杆横截面上的最大工作应力 为材料的许用应力 对于塑性材料= s/ns 对于脆性材料 拉= b拉/nb; 压= b压/nb；,总第20讲 拉压杆强度设计,对于等截面杆，其强度准则可以写成,1、强度校

44、核,2、选择截面尺寸,3、确定许可载荷,例17-1强度校核,某铣床工作台的近给液压缸如图示，缸内工作压力p=2MPa，液压缸内径D=75mm，活塞杆直径d=18mm，已知活塞杆材料的许用应力=50MPa，试校核活塞杆的强度。,解：,求活塞杆的轴力：,横截面上的应力为：,活塞杆强度足够,注：在工程中，允许工作应力大于许用应力但不可超出5。,例17-2选择截面尺寸,习题173， 已知：h=2b，F=40kN，=100MPa； 试设计拉杆截面尺寸h、b。,解： 求出拉杆的轴力FN; FN=F=40kN,拉杆的工作应力 FN/A,根据强度准则，有 , 即 AFN/；而A=hb=2b2 所以：2b2 4

45、0103/100=400mm2,求得：b 14.14mm；h=2b=28.28mm,考虑安全，可以取 b=15mm，h=30mm,结束,例17-2选择截面尺寸,习题173， 已知：h=2b，F=40kN，=100MPa； 试设计拉杆截面尺寸h、b。,解： 求出拉杆的轴力FN; FN=F=40kN,拉杆的工作应力 FN/A,根据强度准则，有 , 即 AFN/；而A=hb=2b2 所以：2b2 40103/100=400mm2,求得：b 14.14mm；h=2b=28.28mm,考虑安全，可以取 b=15mm，h=30mm,结束,例题17-3确定许可载荷,如左图，已知： 木杆面积A1=104mm2

46、， 1=7MPa 钢杆面积A2=600mm2，2=160MPa, 确定许用载荷G。,解：,1、求各杆的轴力 如图b)列平衡方程，得,Fx=0 FN1FN2cos300=0,Fy=0 FN2sin300G=0,求解上式，得： FN1= 1.73G, FN2=2G,2、用木杆确定G,由强度准则： 1 =FN1/A1 1 得：G 1 A1 /1.73=40.4kN,3、校核钢杆强度,即： 2 =FN2/A2= 2G/A2=80.8103/600 =134.67MPa2 强度足够，故许可载荷G=40.4kN,结束,总第21讲弯曲梁的强度计算,梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应力，故有：,和,对

47、于等截面梁，可以写成：,对于脆性梁，其抗拉、抗压性能不等时，应分别予以设计。,通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准则设计出截面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准则进行校核。,弯曲正应力,例176 强度校核,图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力30MPa，许用压应力60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性矩Iz763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。,分析： 1、画出梁的弯矩图（确定最大弯矩及其所在截面） 2、求出梁的最大拉应力和最大压应力值 3、校核强度,解： 1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，画出弯矩图如 b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即： C点为上压下拉，而B点为上拉下压,FA,FB,例176（续 1）,2、求出B截面最大应力,最大拉应力（上边缘）：,最大压应力（下边缘）：,例176（续 2）,3、求出C截面最大应力,最大拉应力（下边缘）：,最大压应力（上边缘）：,由计算可见： 最大拉应力在C点且Cmax=28.83MPa=30MPa 最大压应力在B点且Bmax=46.13MPa 60MPa 故梁强度足够,例177 梁的截面设计,简支梁AB如图所示，已知：