第3章静定结构的.ppt

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1、第三章静定结构的受力分析,3.1梁的内力计算的回顾 3.2静定多跨梁 3.3静定平面刚架 3.4静定平面桁架 3.5组合结构 3.6三铰拱 3.7隔离体方法及其截取顺序的优选 3.8刚体体系的虚功原理 3.9静定结构总论,3-1梁的内力计算的回顾,一、单跨静定梁 1.三种典型的 单跨静定梁：,简支梁 伸臂梁（外伸梁） 悬臂梁,2.截面内力分量及其正负号的 规定： 三个内力分量： 轴力FN -拉力为正 剪力FQ-绕隔离体顺时针方向转动为正（左上 右下） 弯矩M-使梁的下侧纤维受拉者为正 作内力图时：剪力图和轴力图可绘在杆的任何 一侧，但要标注正负号；而弯矩图画在受拉一 侧，不标正负号。,3.用截

2、面法求指定截面的内力 计算杆件指定截面内力时，将杆件在指定截面 切开，以截面的任意一侧作为隔离体，利用平 衡条件，求相应内力。 所求未知力设为正号。 为方便计算选取外力作用 较少的部分作为隔离体。,4.荷载与内力图的关系 无荷载分布段(q=0), FQ图为水平线,M图为斜直线. 均布荷载段(q=常数), FQ图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同.,集中力作用处, FQ图有突变, 且突变量等于外力值; M图有尖角,且指向与 荷载相同。 集中力偶作用处, M图有突变, 且突变量等于力偶值; FQ图无变化。,5.分段叠加法做弯矩图 原理：当杆件受到多个荷载作用时，可以先分别绘出各荷载单独

3、作用时的弯矩图，然后将各图形相应的纵标值叠加起来，即可得到原有荷载共同作用下的弯矩图，这就是作图的叠加法。 步骤：选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值； 分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。,4kNm,4kNm,4kNm,2kNm,4kNm,4kNm,6kNm,4kNm,2kNm,（1）集中荷载作用下,（2）集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,（1）悬臂段分布荷载作用下,（2）跨中集中力偶

4、作用下,（3）叠加得弯矩图,例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。,分析,该梁为简支梁，弯矩控制截面为： C、D、F、G 叠加法求作弯矩图的关键是 计算控制截面位置的弯矩值。,（1）先计算支座反力,（2）求控制截面弯矩值,取AC部分为隔离体，可计算得：,kN,取GB部分为隔离体，可计算得：,kN,26,7,30,M图（kN.m）,FQ图（kN）,注意 叠加是弯矩的代数值相加，也即图形纵坐标相加。而不是图形的简单拼合。,3-2静定多跨梁 一、静定多跨梁的几何组成特性 多跨静定梁常用于桥梁结构。从几何组成特点 看，它的组成可以区分为基本部分和附属部 分。 基本部分：不依赖于其它部分的存在，本身就

5、能独立地承受荷载而维持平衡的部分。 附属部分：需要依赖于其它部分的存在，才能 承受荷载而维持平衡的部分。,如图所示梁，其中 AC 部分不依赖于其它部 分，独立地与大地组成一个几何不变部分，称 它为基本部分；而CE部分就需要依靠基本部分 AC才能保证它的几何不变性，相对于AC 部分 来说就称它为附属部分。,（a）,（b）,（c）,多跨静定梁的组成,附属部分-不能独 立承载的部分。,基本部分-能独立 承载的部分。,基、附关系层叠图,二、多跨静定梁的内力计算,拆成单个杆计算,先算附属部分,后算基本部分.,例.对图示静定梁,欲使AD跨的最大正弯矩与支座B截面的负弯矩的绝对值相等,确定铰D的位置.,解:

6、,与简支梁相比:弯矩较小而且均匀.,从分析过程看:附属部分上若无外力,其上也无内力.,3-3静定平面刚架 一、平面刚架结构特点： 刚架是由直杆组成的结构，其结点全部或部分 为刚结点。 其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具 有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便 于形成大空间。,(d),刚架的优点： （1）内部有效使用空间大； （2）结构整体性好、刚度大； （3）内力分布均匀，受力合理。,刚结点处的 变形特点,1、悬臂刚架,2、简支刚架,3、三铰刚架,4、复合桁架（主从刚架）,二、常见的静定刚架类型,三、绘制刚架内力图的步骤 求刚架的支座反力 将刚架拆成若干根杆件，求各杆件的杆端内力 由杆

7、端内力作各杆内力图，将各杆内力图组合在一起就是刚架内力图 校核（选结点或结构的某部分）,a.刚架的支座反力（应尽可能建立独立方程）。,解:,如图（a）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。,ACD为附属部分，其余为基本部分。,1）支座反力 考虑附属部分ACD：,考虑刚架整体平衡：,b.刚架中各杆的杆端内力 内力正负号的规定： FQ、FN与前同，M无正负号。作图时， M画于受拉侧，不标正负号。 FQ、FN画于任意侧，标注符号。 结点处有不同的杆端截面。为了确切地表示内力，在内力符号右下方加两个角标

8、，第一个角标表示内力所在的截面，第二个角标表示杆段的另一端。如：MAB指AB杆A端的弯矩。 正确选取隔离体。,c.刚架的内力图 根据各杆的杆端内力先绘制各杆的内力图，然 后将各杆的内力图合在一起即为刚架内力图。 计算杆端剪力、轴力的方法: 简单情况下，可根据截面一边的荷载及支座 反力直接求出（截面法）。 复杂情况下，对于FQ的计算取杆为隔离体,用 杆端弯矩利用平衡方程（力矩方程）求出，对 于FN取结点为隔离体利用力的投影方程求出。,所谓对称结构是指： 结构的几何形式和支承情况对某轴对称； 杆件截面和材料性质也对此轴对称。 作用在结构上的任意一组荷载都可分解为：对称荷载和反对称荷载。 对称荷载绕

9、对称轴对折后，左右两部分的荷载彼此重合（作用点相对应，大小相等，方向相同）。 反对称荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载正好相反（作用点相对应，大小相等，方向相反）。,对称结构在对称荷载作用下，其变形和内力都是对称的。（M图、FN图正对称，FQ图反对称） 对称结构在反对称荷载作用下，其变形和内力都是反对称的。（M图、FN图反对称，FQ图正对称）,在铰结点和铰支座旁的截面及自由端截面，若无外力偶作用，则这些截面M必等于0；若有外力偶作用，则该截面的弯矩值等于外力偶值。 对于连接两杆的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端M数值相等且同为外侧或同为内侧受拉。,【例1】绘制图（a）所示悬臂刚架的内力

10、图。,【解】 悬臂刚架可不计算支座反力，直接计算内力。 1) 求各控制截面上的内力。 取每个杆件的两端为控制截面，从自由端开始，根据荷载情况按单跨静定梁的内力计算法则，可得各控制截面上的内力为,MDC = 0 MCD = 40kN4m10kN/m4m2m = 240kNm (上侧受拉),MCA = MCD = 240kNm (左侧受拉) MAC= 40kN4m10kN/m4m2m40kN2m = 320kNm (左侧受拉),FSDC =40kN FSCD =40kN10kN/m4m = 80kN FSCA = 0 FSAC =40kN FNDC = FNCD = 0 FNCA = 40kN10

11、kN/m4m= 80kN FNAC = 80kN,2) 绘制内力图。 由区段叠加法绘制弯矩图。在CD段，将控制截面上的弯矩值竖标按比例标出并用虚线连接，以此虚线为基线，叠加上相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图。在AC段，以连接控制截面上的弯矩值竖标的虚线为基线，叠加上相应简支梁在跨中点受集中荷载作用下的弯矩图。,20,40,(b)M 图 (kNm),由控制截面上的剪力值，并利用q、FS和M三者的微分关系绘制该刚架的剪力图。在CD段，有均布荷载作用，剪力图是一条斜直线，用直线连接两控制截面上剪力值的竖标即是该段的剪力图。,(c)FS 图 (kN),在AC段，因无均布荷载作用，剪力图应是与轴线平行

12、的直线，在集中力作用的B点处剪力图出现突变，突变值等于40kN。,(c)FS 图 (kN),由于各杆均无沿杆轴方向的荷载，所以各杆轴力为常数。根据求出的控制截面上轴力值直接绘出轴力图。,(d)FN 图 (kN),【例2】绘制图（a）所示简支刚架的内力图。,A,【解】 1) 求支座反力。,A,由刚架整体的平衡方程，可得支座反力为 FAx=60 kN, FAy=16 kN, FB=76 kN 2) 求控制截面上的内力。 将刚架分为AC、CE、CD和DB四段，取每段杆的两端为控制截面。这些截面上的内力为,MAC=0 MCA=60kN4m10kN/m4m2m =160kNm （右侧受拉） MEC=0

13、MCE=20kN2m=40 kNm （左侧受拉） MCD=60kN3m+76kN5m =200 kNm （下侧受拉） MDC=MDB=76kN2m=152 kNm （下侧受拉）,MBD=0 FSAC=60kN FSCA=60kN10kN/m4m=20 kN FSCE= FSEC=20 kN FSCD=FSDC=60kN76kN=16 kN FSDB=FSBD=76kN FNAC=FNCA=16kN FNCE=FNEC=FNCD=FNDC=FNDB=FNBD=0,3) 绘制内力图。 根据以上求得的各控制截面上的内力，绘出刚架的内力图如图(bd)所示。,(b)M 图 (kNm),(d)FN 图 (

14、kN),(c)FS 图 (kN),E,C,B,A,E,C,B,A,D,例3-3-3 作图示三铰刚架内力图。,解：,1) 支座反力,考虑整体平衡:,由BEC部分平衡：,2) 作M 图,斜杆DC中点弯矩为：,弯矩图见下图。,3) 作FQ图,斜杆用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用投影方程求剪力。,对于DC杆：,对于EC杆：,竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。,剪力图见下页图。,FQ 图 (kN),4) 作FN图,竖杆、水平杆及斜杆均用投影方程求轴力。,结点D：,结点E：,右下图中，将结点C处的水平力和竖向力在杆DC的轴向投影得：,轴力图见下页图。,FN 图 (kN),例题1: 作图示结构弯矩图

15、,练习: 作弯矩图,3-4静定平面桁架 一、桁架的特点和组成 1.桁架是由直杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，可以充分发挥材料的作用，是最理想的一种结构形式。 2.在工程中的应用：屋架和桁架桥。,.实际桁架的受力情况较复杂，在抽象为计算简图的过程中，采用下列假定： （1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点； （2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上。 满足此条件的桁架为理想桁架。,理想桁架：,上弦杆,腹杆,下弦杆,4.因桁架中各杆都在两端受力，都为二力杆。 特性：只有轴力，而没有弯矩和剪力。 5.简图与实

16、际的偏差： .并非理想铰接（如钢桁架的结点为铆接或焊接，钢筋砼中的各杆是浇筑在一起的，这些结点都有一定的刚性）； .并非理想直杆（各杆的轴线不可能绝对平直，在结点处各杆也不一定完全交于一点）； .并非只有结点荷载（杆件的自重不作用于结点上，实际的荷载也常常不是作用在结点上）；,6.桁架的分类 .按外形分类：,梯形桁架, 平行弦桁架,抛物线桁架, 三角形桁架,.按几何组成分类： 简单桁架在基础或一个铰结三角形上依次加二元体构成的 联合桁架由简单桁架按基本组成规则构成 复杂桁架非上述两种方式组成的静定桁架,简单桁架,简单桁架,联合桁架,复杂桁架,二、桁架的内力分析 1.结点法（主要用于求解简单桁架

17、的内力） 选取隔离体时,每个隔离体只包含一个结点 的方法。 结点法是考虑的桁架中结点的平衡，此时隔 离体上的力是平面汇交力系,只有两个独立的 平衡方程可以利用,故一般应先截取只包含两 个未知轴力杆件的结点。,分析时的注意事项：,1、尽量建立独立方程：,2、避免使用三角函数,l,lx,ly,FN,Fx,Fy,FN,l,=,Fx,lx,=,Fy,ly,3、假设拉力为正,+,例1. 求以下桁架各杆的内力,对于简单桁架,若与组成顺序相反依次截取结点,可保证求解过程中一个方程中只含一个未知数。,-8 kN,求出所有轴力后,应把轴力标在杆件旁。,对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称:,E 点无荷载

18、,红色杆不受力,对称结构受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称:,垂直对称轴的杆不受力,对称轴处的杆不受力,结点单杆：以结点为平衡对象能仅用一个 方程求出内力的杆件，称为结点单杆 。 零杆 零内力杆简称零杆。,P,例:试指出零杆,练习:试指出零杆,受力分析时可以去掉零杆, 是否说该杆在结构中是可 有可无的?,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,A,B,C,D,2.截面法 适用范围：联合桁架的计算和简单桁架中少数 指定杆件的计算。 隔离体包含不少于两个结点。隔离体上的力是 一个平面任意力系,可列出三个独立的平衡方 程。取隔离体时一般切断的未知轴力的杆件不 宜多于三根。 被截三杆应不

19、交于一点或不互相平行。,截面单杆: 用截面切开后，通过一个方程可求出内力的杆.,截面上被切断的未知轴力的 杆件只有三个,三杆均为单杆.,截面上被切断的未知轴力的 杆件除一个外交于一点,该杆 为单杆.,截面上被切断的未知轴力的 杆件除一个均平行, 该杆为单 杆.,a为截面单杆,b为截面单杆,3-5静定组合结构 在桁架结构中所有的杆件均为链杆，也就是只 有轴力的杆；在刚架结构中，绝大部分杆件的 内力分量有三个，这种杆为梁式杆。由链杆和 梁式杆共同组成的结构为组合结构。 组合结构的计算步骤一般是：先计算各链杆的 轴力，并将其作用于梁式杆上，然后再计算梁 式杆的内力。,拱 (arch) 一、简介,杆轴

20、线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。,三铰拱,1.拱的定义,拱 (arch) 一、简介,2.拱的分类,三铰拱,静定拱,超静定拱,超静定拱,两铰拱,无铰拱,拉杆拱,拉杆,斜拱,高差h,拱 (arch) 一、简介,3.拱的有关名称,跨度,顶铰,矢高,二、三铰拱的内力计算,FVB=FVB0,FVA=FVA0,FH= MC0 / f,等代梁,FHA=FHB =H,三铰拱的竖向反力与其等代梁的反力相等;水平反力与拱轴线形状无关.荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反比.,三铰拱的内力不但与荷 载及三个铰的位置有关，而 且与拱轴线的形状有关。,由于推力的存在，拱的 弯矩比相应简支梁的弯矩要 小。,

21、三铰拱在竖向荷载作用 下轴向受压。,x,7.5kN,2,y2,1,2,3,4,5,6,7,8,A,B,例 1、三铰拱及其所受荷载如图所示拱的轴线为抛物线方程,计算反力并绘,制内力图。,（1）计算支座反力,（2）内力计算,以截面2为例,0.000,1.125,1.500,1.125,0.000,0.375,0.375,4.500,0.000,0.600,0.354,0.003,0.472,1.000,1.421,3.325,0.600,1.060,3.331,M 图 kN.m,FQ 图 kN,FN 图 kN,13.300,10.958,9.015,7.749,7.433,11.665,6.796

22、,11.235,11.700,7.500,绘制内力图,三、三铰拱的合理拱轴线,只限于三铰平拱受 竖向荷载作用,在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。,在给定荷载下，使拱处于 无弯矩状态的轴线，被 称为与该荷载对应的合 理拱轴线。,试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线,MC0=ql2/8,FH=ql2/8f,M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2,y=4fx(l-x)/l2,抛物线,注 意 *合理轴线对应的是 一组固定荷载； *合理轴线是一组。,例2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。,证明 设拱在静水

23、压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。,ds,R,R+dR,o,d/2,d/2,这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。,因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为园弧。,例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设填土的容重为，拱所受的分布荷载为 。,qc+.f,f,x,y,y*,因事先 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：,对简支梁来说，,而,设其特解,设,悬链线,3-8 刚体体系的虚功原理,计算静定结构内力的另一个普遍方法虚功原 理，它等价于平衡方程。 一、虚功原理 设体系上作用任意的平衡力系

24、，又设体系发生 符合约束的无限小刚体体系位移，则主动力在 位移上所作的虚功总和恒等于零。,两种应用:,虚设位移虚位移原理求静定结构内力。,虚设力系虚力原理求刚体体系的位移。,几何关系：,或设,相应的,小结：1）虚功原理（这里是用虚位移原理）的特点是用几 何方法解决平衡问题。,2）求解问题直接，不涉及约束力。,A,B,C,D,E,F,a,x,例：求机构相应的平衡力X=？,解：,（1）建立虚功方程,（2）几何关系,由于,（3）解方程求X,x,x,二、应用虚功原理求解静定结构的约束力（单位支座位移法）,X,p,x,将求约束力的问题转化为求平衡力的问题,单位支座位移法的步骤： 撤去与所求约束力相应的约

25、束，用约束力代 替约束作用于体系上，使结构变为机构； 使机构沿所求力的方向发生单位位移，作出 整个机构的虚位移图； 求出各主动力作用点的虚位移（带符号）， 代入虚功方程求解。,用虚位移原理求内力的问题,1）求截面C的弯矩,2）求截面C的剪力,3- 9静定结构总论,一、用零载法判断体系的几何构造 S-W=n，若W0 s=n0时，无多余约束的几何不变体； s=n0时，有多余约束的几何可变体或瞬变体系。 在W0的体系上，作用一个特殊的荷载（其值大小为0） 荷载为0而内力不全为0的状态称为自内力。,结论： 体系存在自内力，则体系为几何可变或瞬变体系。 体系不存在自内力，则体系为几何不变体系。 零载法的

26、特点：将几何构造问题转化为了静力 分析问题。,二、静定结构的一般性质 静定结构的几何特性: 无多余约束的几何不变体系; 静定结构的静力特性: 全部反力和内力均可由 静力平衡条件求得，解答是唯一的。,(1)非荷载因素(支座移动、材料收缩、制造误差、温度变化）不产生反力和内力。,温度作用下,支座位移作用下,静定结构特性,(2)局部平衡特性 ：若取出的结构部分 （不管其可变性）能够平衡外荷载， 则其他部分将不受力。,A,B,C,P,P,静定结构在平衡力系作用下，只在其作用的最小几何不变体系上产生内力，其它结构构件上不产生弹性变形和内力。,注意：,（3）荷载等效变换特性：在结构某几何不变部分 上荷载做等效变换时，荷载变化部分之外的反力、 内力不变。,（a）,A,B,（b）,A,B,（c）,（4）构造等效变换特性：结构某几何不变部 分，在保持与结构其他部分连接方式不变的前 提下，用另一方式组成的不变体代替，其他部 分的受力情况不变。,N,N,A,B,A,B,