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1、1,动 力 学,动 能 定 理,2,13-2,13-1,13-3 动能定理,13-4 势力场势能机械能守恒定理,动能,力的功,3,13-1 动 能, 质点的动能, 质点系的动能, 几种刚体运动的动能, 柯尼西定理,4,即：质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。,质点系的动能等于系统内所有质点动能的总和，用符号 T 表示，则有,国际单位制中，动能的常用单位是 kgm2/s2，即 J 。,动能是物体机械运动的一种度量，是一非负的标量，只取决于各质点速度的大小，而与方向无关。,二、质点系的动能,一、质点的动能,5,1. 平动刚体的动能,即，平动刚体的动能，等于刚体的质量与质心速度平方乘积的
2、一半。,质点系的动能,三、几种刚体运动的动能,2. 定轴转动刚体的动能,可见，定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半.,6,O,O,e,A，B两轮质量相同，以相同的角速度绕圆心O转动。,C,A,B,A轮为匀质圆盘、B轮质心在C点。两轮动能是否相同？, 思考题,7,根据转动惯量的平行轴定理有,平面运动刚体的动能,等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴转动时的动能之和。,此结论是否适用于刚体的任意运动？,3. 平面运动刚体的动能,8,以质点系的质心 C 为原点,取平动坐标系 Cx y z ,它以质心的速度 vC 运动。,故得质点系在绝对运动中的动能,四、柯尼西定
3、理,vi = vc + vir,9,上式右端第一项,即，质点系在绝对运动中的动能,等于它随质心一起平动时的动能,加上它在以质心速度做平动的坐标系中相对运动的动能。这就是柯尼西定理。,第三项等于 mivir2/2 = Tr 是质点系在相对运动中所具有的动能。记为Tr,第二项,是质点系随质心一起平动时的动能.,所以质点系的动能,10,匀质杆,m, L,计算刚体的动量、动量矩、动能,m ,R , ,匀质圆盘,M,R,匀质圆轮,纯滚动,11,系统如图所示，轮的质量为m1，纯滚动，AO杆的质量为 m ，角速度为 ，求系统的动能。,O,A,C,r1,r2, 练习题,C是轮上的点，JC是绕C点的转动惯量，
4、是否成立？,12,已知滑块A的质量为 m1，质点B的质量为m2 , AB杆的长度为 l、不计质量，以角速度AB绕 A点转动，滑块的速度为vA。求系统的动能。,滑块A的动能,质点B的动能,解：,13,已知滑块A的质量为 m1；匀质杆AB的长度为l、质量为m2，以角速度AB绕 A点转动。圆盘B的质量为m3 , 半径为r，与杆固连；滑块的速度为vA，求系统的动能。,A,m1,O,x,x,y,m2,B,l,y,AB,C,r, 思考题,14,坦克或拖拉机履带单位长度质量为 ，轮的半径为r，轮轴之间的距离为d，履带前进的速度为v0 。求：全部履带的总动能。,解：在C1C2杆上建立 动系C1xy。,牵连运动
5、为水平平移，牵连速度为v0；,相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履带的运动。圆轮的角速度为 v0/r ,履带上各点的相对速度均为v0 。,15,解：应用柯希尼定理，全部履带的总动能为,16,13-2 力 的 功, 功的概念,几种常见力的功,作用于质点系上的力系的功,17,一、功的概念,在一无限小位移中力所做的功称为元功,力在一段路程中对物体作用的累积效果。,18,重力在曲线路程 A1A2 上的功为,有 结 论,（2）重力的功与运动路径无关。,（1）重力的功等于重力与重心高度降的乘积。,（3）重心下降，重力作正功；否则，重力做负功。,二、 几种常见力的功,1 重力的功,对于质点系,19,弹性力
6、F 在曲线路程 A1A2 中的功,有 结 论,(2)弹性力的功与运动路径无关。,(1)弹性力的功，等于弹簧初变形的平方和末变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。,(3)弹簧的变形量减小弹性力作正功；否则，做负功。,2、 弹性力的功,20,三、 作用于质点系上的力系的功,1、 平动刚体上力的功,O,dr,x,r,F,A,v,y,z,C,drC,vC, W = Fv dt = Fv C dt, W = F dr = FdrC,或,2、 定轴转动刚体上外力的功,在刚体由角 1 转到角 2 的过程中，力 F 的总功为,特别是，若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为,W = mz(F) (2 1),作
7、用于定轴转动刚体上的力的功，等于该力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分。,21,3、 平面运动刚体上力的功,设一刚体在力 F 作用下作平面运动，其质心在 C 点，速度是 vC ，刚体上点 A 的速度是 vA , 则力 F 的元功,2). 总 功,1). 元 功,W = FvA dt = F（v C + vAC ）dt, W = Fdr C + mC ( F ) d ,r,F,A,C,vC,vC,vAC,vA,d,= Fv C dt + FvAC dt,= Fdr C + F ( r ) dt,= Fdr C + mC ( F ) d,有 结 论,作用于平面运动刚体上的力的功，等于该力在刚体随
8、质心平动中的功与力对质心的矩在刚体转动中的功之和。,22,半径为2r 的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F，求轮心C运动x 距离时，力F 所作的功。,W = F x mC ( F ),解：, 思考题,23,约束力元功之和等于零的约束称为理想约束。,4、理想约束约束反力的功,（1）光滑固定面 （2）光滑铰链或轴承约束 （3）刚性连接的约束 （4）联接两个刚体的铰链 （5）柔性而不可伸长的绳索约束,24,4). 圆轮沿支承面滚动时，摩擦力(约束力)的功。,vO,FN,因为Cv 为速度瞬心，其速度为零。所以作用在Cv点的静摩擦力F 所作元功为,（1）圆
9、轮连滚带滑运动时，动摩擦力F 所作元功为,（2）圆轮纯滚动时，这时出现静摩擦力F 。,25,这里 d(A1A2) 代表两质点间距离 A2A1 的变化量，它和参考系的选择无关，在一般质点系中，两质点间距离是可变的，因而，可变质点系内力所做功的总和不一定等于零。,但是,刚体内任意两点间的距离始终保持不变，所以刚体内力所做功的总和恒等于零。, W = F1d(A1A2),5、 质点系和刚体内力的功,设质点系内有两质点 A1 和 A2 ,相 互间作用着内力 F1 和 F2 = F1 。两质点的元位移分别是 dr1 和 dr2 , 可得内力 F1 和 F2 的元功之和,26,工程上几种内力作功的情形,
10、作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。, 有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。, 弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。,27,a）图中轮子在FT作用下纯滚动S距离； b）图中轮子由细绳缠绕下滑S距离。 求： FT 做的功。,方法1：根据元功的定义,图a）：,图b）：,方法2：根据力系等效，将FT平移至轮心，附加一力偶,图a）：,图b）：,基本概念功,28,基本概念功,圆轮向前滑滚，摩擦力参与做功，此种情况下动能定理与动量定理、动量矩定理可互换。,圆轮受力如图,
11、根据,两边对t求导,比较系数,29,13-3 动 能 定 理, 质点系动能定理, 质点动能定理,30,动能定理表达了质点或质点系的动能变化和作用力的功之间的数量关系。,设质量为 m 的质点 A ，在力作用下 F 沿曲线由 A1 运动到 A2 ，它的速度由 v1 变为 v2 。,两边点乘速度 v ,得,mv dv = F vdt,一、质点动能定理,1. 微分形式,由牛顿第二定理,1. 微分形式,31,即，质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功，这就是质点动能定理的微分形式。,将上式沿路程 A1A2 积分，得,上式右端就是作用力的元功，左端可改写成 mv dv = md(v v)/2 = d(m
12、v2/2)，从而得,mv dv = F dr,式中 W 表示力 F 在路程 A1A2 中的功。 可见，质点动能在某一路程中的改变量，等于作用于质点的各力在该路程中所做的功。这就是质点动能定理的积分形式。,2. 积分形式,32,即，质点系动能的微分等于作用于质点系各力的元功的代数和，这就是质点系动能定理的微分形式。,dT= W i,对于质点系中的每个质点，都有类似上式，相加得,因,故上式可写成,由质点动能定理的微分形式,1.微分形式,二、质点系动能定理,33,式中 T1 ， T2 分别代表某一运动过程中开始和终了时质点系的动能。上式表明质点系的动能在某一路程中的改变量,等于作用于质点系的各力在该
13、路程中的功的代数和。这就是质点系动能定理的积分形式。,T2T1 = Wi,将上式积分，得,由微分形式 dT= Wi,2.积分形式,34,一自动卸料车重W1 , 装好料后重W2 , 自倾斜30的斜面上无初速地下滑, 碰着固定的弹簧, 并压缩弹簧, 当料车到达最低点(弹簧产生最大压缩变形)时自动卸料. 然后, 依靠弹簧的弹力, 把空车弹回到原来的高度. 设所有阻力等于斜面对料车法向支承力的20% , 问W2 与W1的比值应为多少?,h,D, 讨论题,35,方法一: 分为两个过程来求解:,(1)装料车从最高位置到最低位置的过程中，用动能定理。,(2)空车从最低位置到最高位置的过程中，再用动能定理。,
14、36,方法二： 装料车从最高点下滑, 又回到最高点, 对这一往返过程 应用动能定理。, 空车上滑时阻力做功。, 装料车下滑时阻力做功。,下滑时，料的重力做功。, 在往返过程中，空车重力W1做功也为0。, 在往返过程中，弹簧压缩后又恢复到原长，故弹性力做功为0。, 始、末位置动能： T1=T2=0,37,例题 13-4 运送重物用的卷扬机如图 (a) 所示。已知鼓轮重 W1 ,半径是 r,对转轴 O 的回转半径是 。在鼓轮上作用着常值转矩 MO ,使重 W2 的物体 A 沿倾角为 的直线轨道向上运动。已知物体 A 与斜面间的动摩擦系数是 f 。假设系统从静止开始运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质
15、量和轴承 O 的摩擦都忽略不计。试求物体 A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。,38,用v 表示这时物体的速度大小，则鼓轮的角速度大小=v/r，从而有,系统从静止开始运动的，初动能 T1 = 0。在重物上升的单向路程为 s 时，系统的动能 T2 可计算如下。,取鼓轮、绳索和物体 A 组成的系统为研究对象。,解：,39,根据T2 T1=W，有,在物体 A 上升 s 路程中，作用在系统上的力的总功为,T1 = 0 ,40, 物体 A 的加速度,把式(1)中的s看作变值，并求两端对时间 t 的导数，有,考虑到在直线运动中 dv / dt = a，ds / dt = v，故物体 A 的加
16、速度,A,O,M0,W2,FN,F,FOx,FOy,W1,a,v,(1),根号内必须为正值，故当满足MOW2r(sin+f cos )时，卷扬机才能开始工作。,41,O,M0,A,如何求绳子拉力和物体A与斜面间的摩擦力？, 思考题,m2a=FT Fs mgsin,0= FN m2g cos,42,O,M0,P,A,rA,若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，试求滚子A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。, 思考题,动能:,力的功:,43,若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，且绳子缠绕在滚子上，试求滚子A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度和加速度
17、。, 思考题,动能:,力的功:,44,例题 13-5 系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成， A，B为铰链，D为小滚轮，且AD水平。每根杆的质量为 m，长度为 l，当仰角1=60 时，系统由静止释放。求当仰角减到2=30 时，杆AB的角速度，摩擦和小滚轮的质量都不计。,45,系统开始是处于静止，初动能 T1=0。,取整个系统为研究对象，其中杆AB作定轴转动，而杆BD 做平面运动。,考虑系统由静止开始运动到2=30 这个过程。,解:,而末动能等于,由于PB= BD = AB，代入上式，得,AB = BD,ABAB = PBBD,由图 (b) 知，杆BD的速度瞬心在P 点，,B,A,D,F,
18、E,2,2,(b),mg,mg,FAx,FAy,F D,分析点B的速度有,46,而,将以上结果代入上式，得,vE = PE BD,AB = BD,杆BD质心E的速度,= PE AB,= PB sin (22 ) AB,= l sin 60 AB,B,A,D,F,E,vB,vD,2,2,60,60,BD,AB,(b),P,mg,mg,FAx,FAy,F D,47,从而得杆AB在2=30 时的角速度,( 顺钟向 ),在运动过程中，只有杆的重力mg做功，所以作用在系统中的力在运动过程中的总功为,由T2 T1=W 得,48,如何求当仰角减到2=30 时，杆AB的角加速度？, 思考题,PB= AB =
19、BD,AB = BD,ABAB = PBBD,由余弦定理 可知,由于,则有,49,如何求当仰角减到2=30 时，杆AB的角加速度？, 思考题,由T2 T1=W 得,上式两边求导 ，注意 即可得杆AB的角加速度。,50,A,B,D,F,E,mg,mg,1,1,(a),B,A,F,E,mg,mg,2,2,(b), 思考题,若在FE之间连接一根刚度系数为k的水平弹簧，当仰角1=60 时为弹簧原长。求当仰角减到2=30 时，杆AB的角速度。,51,例题13-6 设质量为m ，半径为r的园柱体在一个半径为R的大园槽内作无滑动的滚动，如图所示。如不计滚动摩阻，求园柱体围绕其平衡位置作微小摆动的周期。,O,
20、R,A,C,r,E,52,其中 。至于角速度可以这样确定：利用无滑动的条件，接触点A为瞬时速度中心，因此可得到 ，或者 。,系统的动能,解：,将这些关系代入上式，就有,O,R,A,C,r,mg,Ff,FN,E,53,将转动惯量用回转半径表示，,上式可化为,O,R,A,C,dr,mg,Ff,FN,E,s,ds,由,得,54,O,R,A,C,dr,mg,Ff,FN,E,s,ds,则微小摆动的周期为,在微小摆动情况下，可近似地取 。上式可简化为,其中,55,如以平衡位置为重力势能的零点，则在任一位置系统的势能为,应用机械能守恒定律求解,根据机械能守恒定律得,56,此式给出了系统的速度 随位置 的变化
21、规律。,为了得到运动微分方程，可将式（a）对时间求导数得,则微小摆动的周期为,在微小摆动情况下，可近似地取 。式（b）可简化为,（a）,（b）,57,定常流动中的能量方程（动能定理在流体中的应用）,在定常流动流体中任取一段流体，截面分别为1、2， 截面面积分别为A1、A2，流体密度：r t： 1-2位置 t+t：1-2位置 流入：速度v1，压强p1 流出：速度v2，压强p2 理想流体，内摩擦力为零，在t内作用于流体的压力所作的功：,流体不可压缩,重力功：,根据动能定理,稳定流体的伯努力方程：在定常流动（稳定流体）中，沿同一流线的单位体积流体的动能、重力势能与该处的压强之和为常量。,58,桶壁有
22、小孔，水从小孔流出的速度？,设液面高度为h，考察离水面为x深度处的小孔水流，初速度为 ，视为平抛运动，水平射程,如图所示，盛满液体的水池侧壁上开有不同高度的小孔，试证明从一半液体高度的小孔里流出的水射程最远。,59,13-4 势力场势能机械能守恒定理, 势力场与势能, 几种常见势力场的势能, 势能函数, 等势面与零势面, 机械能守恒定理,60,13-4 势力场.势能.机械能守恒定理,一、势力场与势能,1.力场 一物体在某空间内都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，这部分空间称为力场。,2.有势力力的功只决定于作用点的始末位置，而与运动路径无关的力统称为有势力(或保守力)。,3.势力场
23、(或保守力场) 有势力形成的力场称为势力场。,4.势能 为了描述势力场对物体作功的能力，引入势能的概念，用V 表示。,61,在势力场中任选一点A0 ，作为势能零点，则在场中另一点A处的势能就等于由点A运动到势能零点A0的过程中,有势力所做的功W(A A0)。 即有,5.势能的计算,V = W(AA0),62,1. 重力场中的势能,取 A2点为势能零点，则在重力场 A 处的势能为,二、几种常见势力场的势能,63,2. 弹性力场中的势能,设弹簧在 A 和A2 位置的变形分别为 和2 ，取 A2点为势能零点，则在弹力场 A 处的势能为,64,在一般情况下，质点的势能可以表示成质点位置坐标x，y，z的
24、单值连续函数，即,V = V (x , y , z),它称为势能函数。,的各点确定的每个曲面称为等势面；由全部势能零点构成的等势面称为零势面。,V (x , y , z) = 常量,势力场中，满足条件,四、等势面与零势面,三、势能函数,65,推广到质点系，只需把系内所有各质点的势能加在一起就得到质点系在势力场中的势能。这样，质点系的势能一般可以表示成质点系内所有各质点的坐标 x1 , y1 , z1 ; ; xn , yn , zn 的单值连续函数，即,V = V(x1 , y1 , z1 ; ; xn , yn , zn ),例如，可以证明质点系在重力场中的势能为,V = mig(zi zi
25、0) = mg(zC zC0),66,T2+V2 = T1+V1 = 常量,如质点系只在有势力作用下运动,则其动能与势能之和保持不变。动能与势能之和称为机械(总)能。或叙述为:当作功的力都是有势力时,质点系的机械(总)能保持不变。这一结论称为机械能守恒定理。,五、机械能守恒定理,67,例题 13-7 如图所示质量为 m1的物块A悬挂于不可伸长的绳子上，绳子跨过滑轮与铅直弹簧相连，弹簧刚度系数为 k。设滑轮的质量为 m2 ，并可看成半径是 r 的匀质圆盘。现在从平衡位置给物块 A 以向下的初速度 v0，试求物块 A由这位置下降的最大距离s。弹簧和绳子的质量不计。,68,解:,取整个系统作为研究对
26、象.系统运动过程中做功的力为有势力(重力和弹性力),故可用机械能守恒定理求解。,取物块 A的平衡位置作为初位置，弹簧的初变形1=s= m1g /k，物块 A有初速度 v1 = v0，故系统初动能,以物块 A 的最大下降点作为末位置，则弹簧的末变形2=s+ s；系统的末动能 T2 = 0。,69,取平衡位置为势能零点，于是，系统的初势能 V1 = 0 ，,应用机械能守恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量 ，有,以物块 A 的最大下降点作为末位置，则弹簧的末变形2=s+ s；系统的末动能 T2 = 0。,而末势能,注意到在平衡位置有,所以,70,从而求得物块 A的最大下降距离,应用机械
27、能守恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量 ，有,是否能选物体下降的最低位置或弹簧原长位置为势能零点？,重力势能零点和弹性势能零点是否能选不同位置？,运算结果是否有区别？,？,71,选物体下降的最低位置为势能零点。, 讨论,T2 = 0,V2 = 0,应用机械能守恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量 ，有,72,选物体平衡位置O1为重力势能零点，弹簧原长位置O2为势能零点。,s,k,A,v0,v2= 0,O, 讨论,T2 = 0,O2,O1,应用机械能守恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量 ，有,即,73,求物体A运动微分方程。,x,k,O,v0,O, 讨论,求导得,取平衡位置为势能零点，于是,应用机械能守恒定理的式 T+V= 常量 ，有,