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1、第7章 FIR数字滤波器的设计,线性相位FIR滤波器的性质 窗函数法设计FIR滤波器 频率取样法设计线性相位FIR滤波器 线性相位FIR滤波器的优化设计,线性相位FIR滤波器的性质,线性相位系统的时域特性 线性相位系统的频域特性 线性相位系统H(z)的零点分布特性,FIR滤波器的定义,M阶(长度N=M+1) 的FIR数字滤波器,FIR滤波器的特点,1)hk在有限范围内非零，系统总是稳定的。,2)容易设计成线性相位,3)可利用FFT实现,4)运算量比IIR大,FIR滤波器设计指标,严格线性相位定义,例： 单频信号exp(jW0 k)通过线性相位(LTI)系统的响应,若f(W)= - aW, 则称
2、系统H(z)是严格线性相位的。,广义线性相位定义,A (W)称为幅度频函数,线性相位系统的时域特性,M=4 偶对称,M=3 偶对称,M=4 奇对称,M=3 奇对称,定理：,为线性相位的充要条件为hk=hM-k,线性相位系统的频域特性,1) 1型: (hk=hM-k, M为偶数),例：M=4 , hk=h0, h1, h2, h1, h0,A (W)关于0和p 点偶对称,例：h k=1,2, 1, M=2,2) II型:( hk=hM-k), M为奇数,M=3 hk=h0, h1, h1, h0,cos(0.5W) 的周期=,4p,cos(1.5W) 的周期=,(4/3)p,A (W) 的周期=
3、,4p,A (p )=,0,不能用于高通、带阻滤波器的设计,H (W)关于W =p 点奇对称,例：hk=(d k+d k-1)/2,3)III型: hk= -hM-k, M为偶数,M=4 hk=h0, h1, 0, -h1, -h0,A (W)关于0和p 点奇数对称,A (0)= A (p)=0,不能用于高通和低通滤波器的设计,例：hk=(d k-d k-2)/2,4) IV型: hk= -hM-k, M 为奇数,M=3 hk=h0, h1, -h1, -h0,A (0)=0,不能用于低通滤波器的设计,例：hk=(d k-d k-1)/2,线性相位FIR滤波器频率响应一般形式可写为,线性相位系
4、统H(z)的零点分布特性,z=0不可能有系统的零点,zk是系统的零点，则zk-1也是系统的零点。,hk是实的,1),2),3),4),任意线性相位系统是上述四种子系统的组合,hk奇对称时，H(z)在z=1处一定有奇数阶零点。,四种不同类型的线性相位系统在zk=1的零点： (1)I 型FIR滤波器(M为偶)： 在zk=1和zk= -1无零点或者有偶数个零点。 (2)II 型FIR滤波器(M为奇)： 在zk= -1有奇数个零点，在zk=1无零点或者有偶数个零点。 (3)III 型FIR滤波器(M为偶)： 在zk=1和zk= -1有奇数个零点。 (4)IV 型FIR滤波器(M为奇)： 在zk=1有奇
5、数个零点，在zk=-1无零点或者有偶数个零点。,最小积分平方误差设计FIR滤波器 吉伯斯(Gibbs)现象 常用窗函数,窗函数法设计FIR滤波器,问题：已知Hd(ejW)，设计 使其频率响应逼近Hd(ejW)。,hd k一般情况下是无穷序列，需对其进行截断。,设 M=2K, wk=RN+1k,h k= hd k-KRN+1k,方案1：设Hd (ejW)是实偶函数， 则hd k,是实偶对称的。,h M-k= hd M-k-M/2 RN+1 k,= hd -(k-N /2) RN+1 k,= hk,= hd k-MRN+1k,最小积分平方误差设计FIR滤波器,例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其
6、频率响应能逼近截频为Wc的理想低通。,解：设,方案2：设Hd (ejW)为 Hd (ejW) =Ad(W)exp(j( -0.5MW+b) I型和II: b=0 ; III型和IV:b=p/2。,h k= hd kRN+1k,例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近截频为Wc的理想低通。,解：设,例：理想数字微分器的频率响应为 HDIF(ejW)=jW ,|W|p 试用窗口法设计一线性相位FIR滤波器，使其幅度响应逼近理想数字微分器。,解：设理想微分器的频率响应为 HDIF(ejW)= W ej(0.5p-0.5MW) , |W|p,A(W),p,-p,0,W,p,-p,A(W),
7、W,0,M=10,M=9,积分平方误差定义为,由Parseval等式，e 2可表示为,可选择 hk= hdk， 0k M 使积分平方误差最小。,吉伯斯(Gibbs)现象,M=14,M=60,矩形窗对H(e jW)的影响,矩形窗的幅度函数为,W,N,p,主瓣,旁瓣,矩形窗的幅度函数,将理想滤波器的频率响应表示为,则可得FIR滤波器的频率响应为,所以FIR滤波器的幅度函数为,W,p,q,p,W,p,q,p,),(,q,d,A,q,p,W,p,由矩形窗截断产生的波峰大约是9%，所以阻带最小衰减为 20log10(9%)-21dB。,用矩形窗设计的Wc=p/2 FIR滤波器的幅度响应,0,0.25,0
8、.5,0.75,1,-40,-30,-21,-10,0,M=14,M=30,Gain db,常用窗函数,矩形窗,Ap 0.82dB, As 21dB,Hann(汉纳)窗(w=hanning(M+1),Ap 0.056dB, As 44dB,由Hanning窗设计的Wc=p/2 FIR滤波器的频响特性(M=38),0,0.25,0.5,0.75,1,-80,-60,-44,-20,0,Square,Hanning,Gain dB,0,0.25,0.5,0.75,1,-80,-60,-52,-20,0,Square,Hamming,Hamming（哈明）窗( w=hamming(M+1) ),Ga
9、in db,Blackman窗 ( w=blackman(M+1) ),Kaiser窗( w=kaiser(M+1,beta) ),b 是一可调参数。I0(b ): the modified zeroth-order Bessel function.,I0(b )可用幂级数表示为,一般求20项就能达到所需精度。,用Kaiser窗设计FIR滤波器的步骤： 1. 估计滤波器的阶数M A= -20log10(mindp，ds ),2. 估计b,1. 估计滤波器的阶数M,2. 估计b b = 0.1102(As-b),3. 设定理想低通的截频,4. hk=hdk*wk,例: 用Kaiser窗设计一满足
10、下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。 Wp=0.2p, Ws=0.4p，Ap=0.3dB, As=50dB,M=30 Ap=0.0105 dB As=50.7524 dB,例：用Hamming窗设计一个逼近截频为Wc的线性相位FIR 高通滤波器,选I型FIR(M为偶),k0.5M,k=0.5M,选IV型FIR(M为奇),用Hamming窗设计的Wc=0.6p FIR滤波器HP的幅度响应 I 型 N=50 I V型 N=51,0,0.4,0.6,0.8,1,-110,-80,-53,0,Gain response of highpass FIR filter,Normalized frequ
11、ency,Gain, dB,type I,type IV,窗函数法设计FIR滤波器,窗函数法设计FIR滤波器,问题提出 基本思路 I 型线性相位系统 II型线性相位系统 III型线性相位系统 VI 型线性相位系统,频率取样法,问题,已知Hd(ejW)在M+1点上的抽样值Hd (ejWm) ；m=0,1,.,M，设计 hk; k=0,1,.,M，使设计出的滤波器H(z)满足 Hd (ejWm)= H (ejWm),基本思路,Hd (ejWm) ；m=0,1,.,M，已确定。则可通过求解方程,hk的附加约束：系数是实的，满足线性相位条件。,I型取样(Wm=2p m/(M+1) ; m=0,1,M)
12、,线性相位FIR滤波器频率响应一般形式为,I 型线性相位系统(M为偶数，hk偶对称):,I型线性相位滤波器的幅度函数满足: Ad(W)=Ad(2p-W),Hd(ejW)在M+1个取样点上值Hdm为,若设M=4，则有,对Hdm做5点IDFT可得,I型线性相位滤波器在M+1个取样点值为,例:用频率取样法设计一个满足下列指标的I型线性相位高通滤波器。 Ws=0.5p，Wp=0.6p,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,A(W),频率取样法设计的高通滤波器幅度函数,W/p,0,0.2,0.4,0.6,0.
13、8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,A(W),增加一个过渡点后频率取样法设计的高通滤波器幅度函数,W/p,I I型线性相位系统(M为奇数，hk偶对称):,幅度函数满足: Ad(W)=-Ad(2p-W), Ad(p)=0,若M=5，则Hd(ejW)在6个取样点上值Hdm为,II型线性相位滤波器在M+1个取样点值为,例: M=63 (II型)，Wp=0.5p，Ws=0.6p FIR低通滤波器。,G(W),dB,频率取样法设计的低通滤波器增益响应,W/p,G(W),dB,增加一个过渡点后频率取样法设计的低通滤波器增益响应,W/p,IV型线性相位滤波器在M+1个取样点值为,例: 用频率取样法设计一个线性相位数字微分器。 解： HDIF(ejW)=jW ,|W|p,0m(M+1)/2范围内Hdm值为,IV型线性相位系统,0m(M+1)/2范围内Hdm值为,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2,0,1,2,3,4,W/p,A(W),频率取样设计的数字微分器的幅度函数,