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1、1,复变函数 第7讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,4 原函数与不定积分,3,定理一 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则积分 与连接起点及终点的路线C无关.,z1,z2,B,C1,C2,z1,z2,C1,C2,B,4,由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与起点z0和终点z1有关, 如图所示, 我们有,z1,z2,B,C1,C2,z1,z2,C1,C2,B,5,固定z0, 让z1在B内变动, 令z1=z, 则积分,在B内确定了一个单值函数,对这个函数我们有 定理二 如果f(z)在单连通域B内处处解析, 则函数F(z)必为B内的一个解析函数, 并且 F (z)=f(z
2、).,6,证 从导数的定义出发来证. 设z为B内任意一点, 以z为中心作一含于B内的小圆K, 取|Dz|充分小使z+Dz在K内. 于是由(3.4.1)得,z+Dz,z,K,z,z0,7,8,则任给e0, 存在d0, 当|z-z|d即|Dz|d时, 总有 |f(z)-f(z)|e, 因此,9,定义 如果函数j(z)在区域D内的导数等于f(z), 即j (z)=f(z), 则称j(z)为f(z)在区域B内的原函数.,f(z)的任何两个原函数相差一个常数. 设G(z)和H(z)是f(z)的两个原函数, 则 G(z)-H(z)=G (z)-H (z)=f(z)-f(z)=0. 所以 G(z)-H(z)
3、=c, c为任意常数.,10,因此, 如果函数f(z)在区域B内有一个原函数F(z), 则它就有无穷多个原函数, 而且具有一般表达式F(z)+c, c为任意常数. 跟在微积分学中一样, 定义: f(z)的原函数的一般形式F(z)+c(其中c为任意常数.)为f(z)的不定积分, 记作,11,定理三 如果f(z)在单连通域B内处处解析, G(z)为f(z)的一个原函数, 则,这里z0, z1为域B内的两点. 证 因为 也是f(z)的原函数, 所以,12,当z=z0时, 根据柯西-古萨基本定理, c=-G(z0),有了原函数, 不定积分和积分计算公式(3.4.2), 复变函数的积分就可用微积分学中类
4、似的方法去计算.,13,例1 求积分 的值,解 函数zcos z在全平面内解析, 容易求得它有一个原函数为zsin z+cos z. 所以,14,例2 试沿区域Im(z)0, Re(z)0内的圆弧|z|=1, 计算积分,解 函数 在所设区域内解析.,15,16,5 柯西积分公式,17,18,既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同. 则取以z0为中心, 半径为d的很小的圆周 |z-z0|=d(取其正向)作为积分曲线C. 由于f(z)的连续性, 在C上的函数f(z)的值将随着d的缩小而逐渐接近于它在圆心z0处的值, 从而使我们 猜想积分 的值也将随着d的缩小而接近于,19,其实两者是相等的,
5、即,我们有下面的定理. 定理(柯西积分公式) 如果f(z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则,20,证 由于f(z)在z0连续, 任给e0, 存在d(e)0, 当|z-z0|d时, |f(z)-f(z0)|e. 设以z0为中心, R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部, 且Rd.,21,22,这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只要R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该积分的值与R无关, 所以只有在对所有的R积分为值为零才有可能, 因此, 由(3.5.2)即得要证的(3.5.1)式.,23,(3.5.1)式称为
6、积西积分公式. 如果C是圆周z=z0+Reiq, 则(3.5.1)式成为,即, 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,24,例 求下列积分(沿圆周方向)的值:,解 由(3.5.1)得,25,6 解析函数的高阶导数,一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.,26,定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:,其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全
7、含于D.,27,证 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即,因此就是要证,28,按柯西积分公式有,29,因此,30,现要证当Dz0时I0, 而,D,z0,d,C,31,f(z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有|f(z)|M. d为z0到C上各点的最短距离, 则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|d/2,32,因此,L是C的长度,33,这就证得了当Dz0时,I0, 也就证得了,再利用同样的方法去求极限:,这里已经证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,34,依此类推, 用数学归纳法可以证明:,此公式可以这样记忆: 把柯西积分公式(3.5.1)的两边对z0求导数, 右边求导在
8、积分号下进行, 求导时把被积函数看作是z0的函数, 而把z看作常数. 高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,35,解 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的. 根据(3.6.1)有,例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: |z|=r1.,36,O,C1,C2,C,i,-i,x,y,37,根据复合闭路定理,38,由(3.6.1)有,39,7 解析函数与调和函数的关系,40,如果二元函数j(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯(Laplace)方程,则称j(x,y)为区域D内的调和函数. 调和函数在诸如流体力学和
9、电磁场理论等实际问题中都有重要的应用. 下面的定理说明了调和函数与解析函数的关系.,41,定理 任何在区域D内解析的函数, 它的实部和虚部函数都是D内的调和函数. 证 设w=f(z)=u+iv为D内的一个解析函数, 则,则,根据解析函数高阶导数定理, u与v具有任意阶的连续偏导数, 所以,42,从而,同理,因此u与v都是调和函数. 证毕,43,设u(x,y)为区域D内给定的调和函数, 把使u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数. 换句话说, 在D内满足柯西黎曼方程,的两个调和函数中, v称为u的共轭调和函数. 因此, 上面的定理说明: 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,44,应当指出, 如果已知一个调和函数u, 那末就可以利用柯西-黎曼方程(3.7.1)求得它的共轭调和函数v, 从而构成一个解析函数u+iv. 下面举例说明求法. 这种方法可以称为偏积分法. 例1 证明u(x,y)=y3-3x2y为调 和函数, 并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数. 解 1) 因为,所以,45,2) 由,由,46,从而得到一个解析函数 w=y3-3x2y+i(x3-3xy2+c) 这个函数可以化为 w=f(z)=i(z3+c),47,作业 第三章习题,第99页 第7题第1),2),3),4) 第8题第1),2),3),4),