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1、7.5 复合函数与隐函数微分法,7.5.1 多元复合函数的求导法则,在一元函数微分学中，复合函数的求导法则 起着重要的作用.,现在我们把他推广到多元复合函数的情形.,下面按照多元复合函数不同的复合情形， 分三种情况进行讨论.,1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形,证明,则,上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,解,2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形,链式法则如图示,解,解,令,记,同理有,于是,3.复合函数的中间变量既有一元函数又有 多元函数的情形,链式法则如图示,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,全微分形式不变形的实质： 无论
2、 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,全微分形式不变性,隐函数的求导公式,7.5.2 隐函数的微分法,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还可求隐函数的,解,令,则,解,令,则,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解: 令,连续 ;,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可,且,并求,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x = 0 , 注意此时,导数的另一求法, 利用隐函数求导,解,令,则,解,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,思考题,思考题解答,思考题,思考题解答,例1.,解:,例2. 设,求全导数,解:,备用题,1. 已知,求,解: 由,两边对 x 求导, 得,2.,求,解: 由题设,(2001考研),分别由下列两式确定 :,又函数,有连续的一阶偏导数 ,3. 设,解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得,(2001考研),解得,因此,4. 设,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得,(1999考研),解法2 微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,可得,