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1、概率论与数理统计 第5讲,本文件可从网址 http:/ 上下载 (单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录),条件概率与乘法法则,例,100个产品中有60个一等品, 30个二等品, 10个废品. 规定一,二等品都是合格品. 试验: 从100个产品中任抽一个 假设: A,B为抽到的为一,二等品, C为抽到的是合格品, 则C=A+B,假设: A,B为抽到的为一,二等品, C为抽到的是合格品, 则C=A+B 则一等品率为P(A)=60/100, 二等品率为P(B)=30/100. 合格率为P(C)=90/100 如果改变试验为: 从合格品中任抽一件, 则合格品中的一等品率为P(A|C)=60/90.,定
2、义1.3,在事件B已经发生的条件下, 事件A发生的概率, 称为事件A在给定B下的条件概率, 简称为A对B的条件概率, 记作P(A|B). 相应地, 把P(A)称为无条件概率. 这里, 只研究作为条件的事件B具有正概率即P(B)0的情况.,对于条件概率,有控制论和信息论的两种观点,控制论的观点又分两种, 一种是通过控制来改变试验条件, 从而改变某事件的概率. 例如上例中将试验改变为从合格品中任抽一件, 则一等品率发生的概率即发生改变.,另一种是在试验结果中将某事件C发生的结果保留, 将其它的试验结果剔除, 然后再统计某事件A发生的概率P(A|C) 例如, 将上面的试验重复1000次, 如果合格品
3、事件出现了900次, 其中在这900次中一等品出现了600次, 则这时的一等品率为P(A|C)=600/900=2/3.,而信息论的观点涉及到信息传递,这时候可以设置试验场地和信息中心两个地方, 在试验场地的试验员将试验的部分或者全部结果向信息中心的信息员报告.,试验场所,信息中心,拿上一个例来讲,在试验开始前试验员和信息员都知道整个试验的设计情况, 因此知道合格品率为P(C)=90/100, 一等品率为P(A)=60. 现在试验员做了一次试验, 但是并没有将全部试验结果报告给信息员, 只是告诉他“抽到的是合格品“.,则从信息员的角度讲, 他暂时还不知道此产品是一等品还是二等品, 这个时候他从
4、已经获得的信息的条件下的一等品率就已经是P(A|C)=60/90.,条件概率意味着样本空间的压缩,或者可以认为是基本事件的减少而导致的试验. 以事件B为条件的条件概率, 意味着在试验中将B提升为必然事件.,S,B,B,S ,S,B,B,S ,例 市场上供应的灯泡中, 甲厂的产品占70%, 乙厂占30%, 甲厂产品的合格率是95%, 乙厂的合格率是80%, 若用事件A,A分别表示甲乙两厂的产品, B表示产品为合格品, 试写出有关事件的概率和条件概率,解 依题意,注: 在解题过程中常见的错误是将条件概率写成无条件概率!,例 全年级100名学生中, 有男生(以事件A表示)80人, 女生20人, 来自
5、北京的(以事件B表示)有20人, 其中男生12人,女生8人,免修英语的(用事件C表示)40人中有32名男生,8名女生,则有P(A)=80/100=0.8 P(B)=20/100=0.2 P(B|A)=12/80=0.15 P(A|B)=12/20=0.6 P(AB)=12/100=0.12 P(C)=40/100=0.4,因此, 在概率论中把某一事件B在给定另一事件A(P(A)0)下的条件概率P(B|A)定义为,乘法法则 两个事件A,B之交的概率等于其中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率, 即 P(AB)=P(A)P(B|A) (若P(A)0) P(
6、AB)=P(B)P(A|B) (若P(B)0),相应地, 关于n个事件A1,A2,An的乘法公式为:,P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1A2An-1),P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1A2An-1) 在证明此式时, 首先将事件A1A2An分为两个事件A1和A2An然后套用乘法公式得 P(A1A2An)=P(A1) P(A2An|A1) 然后再将P(A2An|A1)中的A2An分为两个事件A2和A3An, 这样依此类推就能够得到上式.,无论是两个事件的乘法公式还是多个事件的乘法公式都是非常重要的,
7、需要在解题前背下来, 它们可以用来解许多概率论的较难的题,一事件A条件下的对另一事件B的条件概率P(A|B)通常是好算的, 而两事件的积的概率P(AB)往往是不好算的. 这是因为条件概率是在条件受控情况下的概率, 能够在一个较“小“的样本空间中讨论问题, 相对容易一些.,再回到前例 市场上供应的灯泡中, 甲厂产品(A)占70%, 乙厂(A)占30%, 甲厂产品合格率是95%, 乙厂合格率是80%, B表示产品为合格品,例 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后, 求甲抽到难签, 甲,乙都抽到难签, 甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲,乙,丙都抽到难签的概率.,解
8、 设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签,这道题也可以用古典概型的办法来做, 因为关心的是抽签人的次序问题, 因此共有10个签, 3个人抽签, 基本事件总数n为10个里面拿出3个来作排列, 而A表示第一个人抽到难签, 则有利于A的基本事件数m的计算为: 首先从4个难签中任取一个放在第一个位置, 而剩下的9个签则排列在剩下的两个位置,用这种思路可以知道P(B)和P(C)也都是4/10,事实上, 即使这十张签由10个人抽去, 因为,其中有4张难签, 因此每个人抽到难签的概率都是4/10, 与他抽的次序无关. 正如十万张彩票如果只有10个特等奖, 则被十万个人抽去, 无论次序如何, 每个人的中奖概
9、率都是十万分之十, 即万分之一. 这在概率论中叫抽签原理. 这类问题经常在研究生的入学考试题中出现, 如果知道, 就能够很快回答, 否则就有可能出错.,例如,(1993年考研题,3分) 一批产品有10个正品和2个次品, 任意抽取两次, 每次抽一个, 抽出后不放回, 则第二次抽出的是次品的概率为_.,(1993年考研题,3分) 一批产品有10个正品和2个次品, 任意抽取两次, 每次抽一个, 抽出后不放回, 则第二次抽出的是次品的概率为_. 因产品总数是12, 次品数是2, 因此答案是2/12.,(1997年考研题,3分)袋中有50个乒乓球, 其中20个是黄球, 30个是白球. 今有两人依次随机地
10、从袋中各取一球, 取后不放回, 则第2个人取得黄球的概率是_.,(1997年考研题,3分)袋中有50个乒乓球, 其中20个是黄球, 30个是白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回, 则第2个人取得黄球的概率是_. 因共有50个乒乓球, 20个黄球, 因此答案是2/5.,(1998MBA试题) 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛, 甲发球成功后, 乙回球失误的概率为0.3, 若乙回球成功, 甲回球失误的概率为0.4, 若甲回球成功, 乙再回球时失误的概率为0.5, 试计算这几个回合中, 乙输掉一分的概率.,解 设Ai为甲在第i回合发(回)球成功的事件, Bi为乙在第i回合回球成功的事件
11、(i=1,2), A为两个回合中乙输掉一分的事件, 则,则因,(1998MBA试题)5人以摸彩方式决定谁得1张电影票. 今设Ai表示第i人摸到(i=1,2,3,4,5), 则下列结果中有1个不正确, 它是( ),解 摸彩即是做5张彩票, 其中1张写“有“, 其余4张写“无“.则P(A3|A1A2)是指在前两个人没有抽到条件下第3个人抽到的事件, 则第3个人抽时只有三张彩票, 则抽中的条件概率当然是1/3. 因此选项(A)正确.,此外, 每个人抽中的无条件概率显然是1/5, 因此选项(D)正确. 选项(B)和(E)可由乘法法则求得为,即选项(B)和(E)均为正确的,选项(C)认为,与选项(B)矛
12、盾,因此为错, 应当选选项(C).,例4 某光学厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下时未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.,解 以Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破“, 以B表示“透镜落下三次而未打破“. 因为B=A1A2A3故有,例5 已知P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(A|B)=0.5, 试求P(B|A),P(B|AB), P(A B|AB).,解 由乘法公式, P(AB)=P(A|B)P(B)=0.50.4=0.2 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.3+0.4-0.2=0.5 且 B(AB)=B, 因此,作业 习题集第6页开始, 习题1-4 1,2,3,4,5,9,