《概率论与数理统计第6讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第6讲.ppt（55页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、概率论与数理统计 第6讲,本文件可从网址 http:/ 上下载 (单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录),全概率定理和贝叶斯定理,例 市上供应灯泡中, 甲厂产品(A)占70%, 乙厂(A )占30%, 甲,乙厂的产品合格率分别为95%, 80%, B表示产品合格, 求总合格率P(B),解 由于B=AB +AB为二互斥事件之和,还可以进一步计算, 如果买到一合格品, 此合格品是甲厂生产的概率P(A|B):,例4 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后,设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签, 求乙抽到难签的概率P(B),解 利用B=AB +AB, 且 AB
2、与AB 互斥, 得,从形式上看事件B是比较复杂的,仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概率. 于是先将复杂的事件B分解为较简单的事件AB与AB; 再将加法法则与乘法法则结合起来, 计算出需要求的概率. 把这个想法一般化, 得到全概率定理, 又称全概率公式.,全概率定理 如果事件A1,A2,构成一个完备事件组, 并且都具有正概率, 则对任意一事件B有,证 由于A1,A2,两两互不相容, 因此, A1B,A2B,也两两互不相容. 且,全概率定理的图形理解,如图所示, 事件B的面积为B与各个事件Ai相交的面积之和.,用全概率定理来解题的思路, 从试验的角度考虑问题, 一定是将试验分为两步做, 将第一
3、步试验的各个结果分为一些完备事件组A1, A2,An, 然后在这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件概率, 最后用全概率公式综合,全概率定理解题的思路,例 12个乒乓球都是新球, 每次比赛时取出3个用完后放回, 求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率,解 假设A0,A1,A2,A3为第一次取到0个,1个,2个,3个新球, 当然, 因为一开始都是新球, 因此第一次只能取到3个新球, 即A3为必然事件, 而A0,A1,A2都是不可能事件. 再假设B0,B1,B2,B3为第二次取到0个,1个,2个3个新球, 当第二次取球的时候, 12个乒乓球中必然有3个旧球, 而B0,B1,B2,B3构成完备
4、事件组,并能够求出它们的概率, 再假设C3为最后取到3个新球,则针对C3使用全概率公式.,再假设B0,B1,B2,B3为第二次取到0个,1个,2个3个新球, 当第二次取球的时候, 12个乒乓球中必然有3个旧球, 而B0,B1,B2,B3构成完备事件组,并能够求出它们的概率, 再假设C3为最后取到3个新球,则针对C3使用全概率公式.,则有:,综合就是,贝叶斯定理 若A1,A2,构成一个完备事件组, 并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为零的事件B, 有,证 由条件概率的定义得,贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样, 只是要求的是一个条件概率, 是在信息论中的重要公式, 即在二次试
5、验后, 观察者只能看到最后的结果事件B, 却要根据B来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率,贝叶斯定理解题的思路,全概率公式和贝叶斯公式可以用表格计算:,例 假定某工厂甲乙丙3个车间生产同一种螺钉, 产量依次占全厂的45%,35%,20%. 如果各车间的次品率依次为4%, 2%, 5%. 现在从待出厂产品中检查出1个次品, 试判断它是由甲车间生产的概率,解 设事件B表示“产品为次品“, A1,A2,A3分别表示“产品为甲,乙,丙车间生产的“, 显然, A1,A2,A3构成一完备事件组. 依题意, 有 P(A1)=45% P(A2)=35% P(A3)=20% P(B|A1)=4% P(B|
6、A2)=2% P(B|A3)=5%,则由贝叶斯公式得,在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中, 关键的一步是要使用一完备事件组, 而最常用的完备事件组,是一事件A与它的逆A构成的完备事件组, 这时的全概率与贝叶斯公式为, (应在考试前专门将它们记住).,例 假设在某特定人群中某种疾病的发病率为p. 对此疾病有一种血检方法. 如果一个人得了这种病, 则此血检结果呈阳性的概率为, 而如果一个人没这种病化验却呈阳性的概率为. 求出当化验为阳性时,此人得了这种病的概率和没得这种病的概率.,解 设A为事件“待检者患病“, B为事件“试验结果阳性“, 则,1987年理工科硕士入学考试题,有两个箱子, 第一个
7、箱子有3个白球2个红球, 第二个箱子有4个白球4个红球. 现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里, 再从第2个箱子中取1个球, 此球是白球的概率为_, 已知上述从第2个箱子中取出的球是白球, 则从第1个箱子中取出的球是白球的概率为_.,解 假设事件A为从第1个箱子取出的是白球, B为从第2个箱子取出的是白球, 第一步试验中的 A 与A 构成完备事件组, 则,1999年MBA试题,甲盒内有红球4只, 黑球2只, 白球2只; 乙盒内有红球5只, 黑球3只; 丙盒内有黑球2只, 白球2只, 从这3只盒的任意一只中取出1只球, 它是红球的概率是( ) (A) 0.5626 (B) 0.5 (C
8、) 0.45 (D) 0.375 (E) 0.225,解 假设A1,A2,A3为取到甲,乙,丙盒的事件, 这是第一步试验的各事件, 构成完备事件组. 假设B为最后取出的是红球的事件.,则,例6 经分析利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 如利率下调, 股价上涨的概率为80%, 而在利率不变的情况下, 股价上涨的概率为40%. 求股价上涨的概率.,解 记A为事件“利率下调“, 则A为“利率不变, 记B为事件“股价上涨“. 据题设知 P(A)=60%, P(A )=40%, P(B|A)=80%, P( B|A)=40%. 于是 P(B)=P(AB)+P(AB ) =P(A)P(B|
9、A)+P(A )P( B |A ) =0.60.8+0.40.4=0.64.,例7 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱装100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率为0.05, 求: (1) 任取一箱, 从中任取一个为废品的概率; (2) 若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率.,解 记事件A,B分别为甲, 乙两厂的产品, C为废品, 则 (1),(2),例8 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%. 试求已知
10、某日早上第一件产品是合格时, 机器调整良好的概率是多少?,解 设A为事件“产品合格“, B为事件“机器调整良好“. 已知 P(A|B)=0.98, P(A|B)=0.55, P(B)=0.95, P(B)=0.05, 所需求的概率为P(B|A). 则,这就是说, 当生产出第一件产品是合格品时, 此时机器调整良好的概率为0.97. 这里, 概率0.95是由以往的数据分析得到的, 即为先验概率. 而在得到信息(即生产出的第一件产品为合格品)之后再重新加以修正的概率0.97即为后验概率. 有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解.,例9 设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为%4, 2%, 5%, 现从中任取一件 (1) 求取到的是次品的概率; (2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.,解 记A1,A2,A3为抽到甲乙丙各厂的产品, B为抽到的是次品. P(A1)=0.45, P(A2)=0.35, P(A3)=0.2 P(B|A1)=0.04, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.05 因此(1) P(B)=0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.035 (2),(2),作业 习题1-4 第15,17,19,20,21 学号小于2003021561的学生交作业,