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1、1,第三章 扭 转,材料力学,2,31 概述 32 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 33 薄壁圆筒的扭转 34 等直圆杆在扭转时的应力 强度分析 35 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件 36 等直圆杆的扭转超静定问题,第三章 扭 转,3,扭转,31 概 述,轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。,扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。,扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移,4,扭转,工 程 实 例,另见课本图3.1、图3.2,5,扭转,32 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,一、传动轴的外力偶矩 传动轴的
2、传递功率、转速与外力偶矩的关系： 已知某传动轴的传递功率为(kW），转速为（rpm), 求该轴上作用的外力偶矩Me。作用在轴上的外力偶矩Me在每秒钟内完成的功应等于给轴输入的功：,其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）,6,3 扭矩的正负号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。,扭转,二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩,7,扭转,4 扭矩图：表示各横截面上扭矩沿杆件轴线变化的图线。,目 的,x,T,8,扭转,例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输
3、出 P2=P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,9,扭转,求扭矩（扭矩按正方向设）,10,扭转,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,x,T (kN.m),4.78,9.56,6.37,11,扭转,33 薄壁圆筒的扭转,一、实验：,加载前：,绘纵向线，圆周线。 施加一对外力偶 Me。,12,扭转,施加一对外力偶 Me后：,圆周线不变； 纵向线变成斜直线。 （小变形）,3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,13,扭转,无正应力 横截面上各点处，只产
4、生垂直于半径的均匀分布的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,4. 与 的关系：,微小矩形单元体如图所示：,14,扭转,二、薄壁圆筒切应力 大小：,A0：平均半径所作圆的面积。,15,扭转,三、切应力互等定理：,上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,16,扭转,四、剪切胡克定律：,单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种情况称为纯剪切。,17,扭转,T=Me,剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，切应力与切应变成正比。,18,扭转,
5、式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,19,扭转,34 等直圆轴在扭转时的应力 强度条件,等直圆轴横截面应力,变形几何关系 物理关系 静力关系,1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。,一、等直圆轴扭转实验观察：,20,扭转,二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：,1
6、. 变形几何关系：,距圆心为 任一点处的切应变与该点到圆心的距离成正比。, 扭转角 沿轴线的变化率。,21,扭转,T,2. 物理关系：,虎克定律： 代入上式得：,22,扭转,静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,称为横截面对圆心的极惯性矩。,23,扭转,横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。,4. 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等截面 圆轴。, 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,24,扭转,单位：长度4, 尽管由等直实心圆轴推出，但同样适用于等直空心圆轴，也近似适用于截面沿轴线变化缓慢的小锥
7、度圆轴。,D,d,O,25,扭转,O,d,26,扭转, 应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心圆截面）,（空心圆截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。,27,扭转, 确定最大剪应力：,Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：长度3。,28,扭转,三、圆轴扭转破坏现象,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋面断开。,29,扭转,四、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴： 对变截面圆轴:, 称为许用切应力。,强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,30,扭
8、转,例2 功率为150kW，转速为924转/分的电动机转子轴如图， 许用切应力 =30M Pa, 试校核其强度。,解：计算扭矩,计算并校核切应力强度,此轴满足强度要求。,31,扭转,35 等直圆轴扭转时的变形 刚度条件,一、扭转时的变形,由公式,知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为,32,扭转,二、单位长度扭转 角：,或,三、刚度条件,或,GIp反映了杆件抵抗扭转变形的能力，称为杆件的抗扭刚度。, 称为许用单位长度扭转角。,33,扭转,刚度计算的三方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,34,扭转,例3长为 L=2m 的空心圆轴受均布力偶 m=20N.m/m 的作用，如图
9、，若轴的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切应力 =30MPa，试设计轴的外径；并求右端面转角。,解：设计轴的外径,35,扭转,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m， 取D=23mm。,(),36,扭转,右端面转角为：,37,例4 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 368 kW， 输出功率分别 P2 = 148kW及 P3 = 220kW，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？,扭转,解： 扭矩如图，
10、 由强度条件得：,T,x,7.03,4.2,(kN.m),(),(),38,扭转,由刚度条件得：,AB段:,BC段:,39,扭转,综上：,全轴选同一直径时,BC段:,AB段:,40,扭转, 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。,T,x,4.2,(kNm),2.8,(),(),41,扭转,36 等直圆轴的扭转超静定问题,解决扭转超静定问题的方法步骤：,平衡方程；,几何方程变形协调方程；,补充方程：由几何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,42,扭转,例5长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=22.6mm ，G=80GPa，试求固定端反力偶。,解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：,43,扭转,几何方程变形协调方程, 综合物理方程与几何方程，得补充方程：, 由平衡方程和补充方程得：,另:此题可由对称性直接求得结果。,44,扭转,非圆截面等直杆的自由扭转简介,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,45,扭转,第三章结束,