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1、第四讲 估计量的优良性准则,一、均方误差的准则,二、一致最小方差无偏估计,一、均方误差准则,计优劣的一个自然准则可定义如下：,简记为MSE。,确定，即,其中,例4.1,MLE的均方误差。,果对所有 不等式,成立，,则称T比,S好，,从均方误差可知，我们自然希望估计的MSE,越小越好。,对所有的 成立，,估计。,因为,倘若这样的估计 存在，,不存在。,由此可见，均方误差一致达到最小的,最优估计并不存在，那么应如何评判和寻找,优良的估计呢？方法之一是对估计提出一些,合理性的要求，将那些诸如不合理的平凡估,计排除在外，然后在满足合理性要求的估计,类中寻找优良的估计。无偏性便是一种常用,的合理性要求。
2、,定义4.1,无偏估计量(Unbiased Estimate)。,例4.2,试讨论它们的无偏性。,解,容易验证 是无偏的。,因为,这样 的无偏估计为,然而,是可估的。,注意：,（1）,无偏估计可能不存在。,（2）,若无特别声明，均认为 是可估参数。,对可估参数 ，无偏估计一般是不唯,一的。,（3）,无偏估计不一定是好的估计，即它可能,是非容许的。,（4）,在函数变换下，无偏性可能消失，即,的有偏估计。,令,设 是可估参数，,由定义4.1可知无偏估计的均方误差就是它,在均方误差准则下，既然最好的估计不存,的无偏估计（一致最小方差无偏估计）是否,那么现在的问题是对无偏估计类 而,在，,若存在，它是
3、否是唯一的？,言，同样在均方误差（方差）准则下，最好,存在？,如何求？,这些就是我们下面需要讨论的主题。,二、一致最小方差无偏估计,定义4.2,参数，,最小方差无偏估计定义如下。,简称为UMVUE。,定理4.1（存在性）,设参数 是可估的，,是 一致最小方差无偏估计的充分,必要条件是对任意的 ，,等式,对所有的 都成立。,则,定理4.2（唯一性）,设参数 是可估的，,则对所有的 ，,且,推论,设 和 分别是可估函数 和,的一致最小方差无偏估计，,则对任意常,数 和 ，,是 的一,致最小方差无偏估计。,和 都是 的一致最小方差无偏估计，,有,即在概率1下一致最小方差无偏估计是唯一。,定理4.3,
4、分统计量，,令,且对所有的,有,证明：,由条件期望的性质，有,但,这是因为,这样,由此定理可知，利用充分统计量可以降低,无偏估计量的方差。,可以通过取充分统计量的条件期望（它是充分,统计量的函数且是无偏的）来缩小无偏估计类。,因此，为了寻找UMVUE，,若令,这是因为,充分统计量的所有函数组成的类，,则由,这样可以在充分统计量,的函数类 中寻找UMVUE。,但可能不,（若存在）,唯一。,为了在概率意义下确定唯一性，还需,这便是统计量的,对统计量提出合理的要求，,完全性。,定义4.3,的任一实值函数，,完全的(Complete) 。,则称,例4.3,证明,样本 ，,欲使上式恒成立，,只有左,边多项式的系数为零，,定理4.4,一个样本，,其密度函数（分布率）可表示为,其中,完全充分的。,（这个定理的详细证明可参见陈希孺著数理统计引论）,例4.4,解,对数分布密度函数为,因此样本的联合密度为,这样,有关应用定理4.4的说明：,从这个例子可以看出，实际上只需把总,体的密度函数（或分布率）分解成,性质和样本的独立性获得。,的形式可直接由指数函数的,