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1、本次课内容 随机变量函数 单变量的函数 多变量的函数 随机变量函数的数字特征 多维正态随机变量,1. 随机变量变换后概率密度的确定,例: 设Y=aX+b ( Affine Transformation)， 求Y的概率密度。,如果X服从正态分布，,A linear function of a Gaussian random variable is also a Gaussian random variable.,如果不是单调函数，假定有n个反函数,则,Example: Square-Law device,b0,If X is a Gaussian random variable with mea
2、n zero and variance 2,Example :,This PDF is called the log-normal PDF,2. Function of a Discrete Random Variable,How to determine the PMF of a transformed random variable?,For example, toss a die and transform as follow,In general, we have that,Check Yourself,Which of following is correct?,One-to-One
3、:,A B C D E,None of above,Check Yourself,Which of following is correct?,One-to-One:,A B C D E,None of above,Check Yourself,Suppose Y=2X, Which of following are correct?,None of above,A B C D E,Check Yourself,Suppose Y=2X, Which of following are correct?,None of above,A B C D E,对于一对一的变换，,Example: Man
4、y-to-One Transformation,Example:,3. Continuous-to-Discrete,Example: PDF for amplitude-limited Rayleigh RV.,4. Mixed random variable,Assume,一般说来, 如果g(x)在区间(x0 , x1上为一常数A,则FY(y)在y=A处不连续, 跳变点跳变高度为,fY(y)在y=A处有一函数， 函数的强度为,例,当y时,当y时,当y时,FY(y)在y=0处有一个跳变， 跳变的高度为P-cXc=FX(c)-FX(-c),Example: Hard Limiter,Y为离散型
5、随机变量, FY(y)为阶梯型,1,-1,5. 多维随机变量的函数,Jacco 比行列式,例,当X1,X2相互独立时，,如果Xi服从相同分布，多个函数卷积的结果逐渐趋近一个高斯函数，所以大量独立同分布的随机变量之和服从正态分布（中心极限定理）。,6. Expected value for a function of a random variable,均值：,方差：,均值：,方差：,对于离散型随机变量，也有类似的结果：,Example: Square-Law Let X be a noise voltage that is uniformly distributed in Sx=-3, -1,
6、 1, 3 with pX(k)=1/4. Find E(Y) where Y=X2.,The First Approach: find the PMF of Y,The Second Approach:,Example： Expected value of a sinusoidal with random phase,随机变量的函数 概率分布和概率密度的 确定 离散随机变量的函数 One-to-One Transformation Many-to-One Transformation 连续-离散的变换 混合型随机变量 多维随机变量的函数,学习内容： 正态随机变量 二维正态随机变量 多维正态随
7、机变量 正态随机变量的线性变换,教学目的： 掌握多维正态随机变量的理论，为学习正态随机过程打下基础。,多维正态随机变量,1. Normal Random Variable ( Gaussian RV),The sum of large number of iid random variables is distributed to normal PDF.,CDF,标准正态分布,If X has a Rayleigh density,2. Joint Normal random variable,如果r=0不相关,X1与X2是独立的,对于正态随机变量而言， 不相关与独立是等价的。,特征函数:,为了简化表达式,概率密度可用矩阵形式表示,条件分布:,3.多维正态随机变量的分布,特征函数,不相关也必定独立,如果不相关,4.正态随机变量的线性变换,正态随机矢量经过线性变换后仍为正态的。,混合矩:,的均值为零,