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1、第四章 随机变量及其分布,第一节 随机变量及其分布函数,第二节 离散型随机变量,第三节 连续型随机变量,4.1 随机变量及其分布函数,Random Variable and Distribution Function,前面的学习： 用A、B、C.表示事件，并视之为样本空间的子集；,针对等可能概型，主要研究用排列组合手段计算事件的概率。,本章以后： 将采用随机变量表示随机事件，以便利用高等数学的方法描述、研究随机现象。,一、随机变量 Random Variable,1. 基本思想,用数值来表示试验的结果，即将样本空间数量化,有些随机试验的结果可直接用数值来表示.,例如: 掷骰子试验：结果可用1,
2、 2, 3, 4, 5, 6表示,例如: 掷硬币试验：结果用“正面”和“反面”表示,可规定: 1表示 “正面” ，0表示“反面”,有些随机试验的结果不是用数量来表示， 但可数量化,例如: 取球试验：结果有“红球”和“白球”表示,可规定: 1表示 “红球” ，0表示“白球”,试验结果与数值建立了对应关系,2. 随机变量的定义,a) 它是一个变量,(2) 随机变量的基本特征:,对于给定的随机试验，是其样本空间，对中 每一个样本点i，有且只有一个实数X(i) 与之 对应，则称此定义在上的实值函数 X 为随机变 量.,(1) 定义,b) 它的取值随试验结果而改变,c) 随机变量在某一范围内取值，表示一
3、个随机事件,某个灯泡的使用寿命X,X 的可能取值为 0,+),Y 的可能取值为 0，1，2，3，.,x 的可能取值为 0，1上的全体实数,3. 随机变量的实例,在0，1区间上随机取点，该点的坐标 x,某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y,4. 随机变量的类型,(1) 离散型随机变量,(2) 非离散型随机变量,随机变量的所有取值是有限个或可列个,随机变量的取值有无穷多个，且不可列,其中连续型随机变量是一种重要类型,主要研究对象：离散型随机变量和连续型随机变量,5. 用随机变量表示事件,任意随机试验E中的事件通常都可用随机变量X的不同取值来表示.,例如：掷骰子试验中，用X表示出现的点数,(1) 事
4、件A表示“出现偶数点”：,(2) 事件B表示“出现的点数小于4”：,X=2 X=4 X=6,X 4或X3,二、随机变量的分布函数 Distribution Function,1. 定义：,注意：,随机变量X的分布函数,自变量的变化范围 (定义域),自变量,分布函数的函数对应法则,值域0,1,2. 分布函数的性质：,(2) 对于任意两点x1，x2，当x1x2时，有：,即 任意分布函数都是单调不减的.,值域0,1,(1),(3) 且,(4),即 任意分布函数都是右连续函数.,随机试验,试验结果,集合论,函数论,样本空间,样本点i,若干样本点构成事件A,事件A的概率P(A),实数集,实数,随机变量X
5、表示事件A,随机变量X的分布函数F(x),数量化,对应,下课了！ 今天就到这里吧！,一、离散型随机变量的分布律,4.2 离散型随机变量,1. 离散型随机变量的定义：,若随机变量可能的取值只有有限个或可数多个，则称其为离散型随机变量，它的分布称为离散型分布.,设X为一个离散型随机变量，它可能取的值为x1，x2，事件X=xi的概率为pi，那么pi =P(X=xi)， 称此式为随机变量X的分布律(分布列)或概率分布(Probability distribution).,2. 离散型随机变量的分布律：,3. 离散型随机变量分布律的表示方法：,(1) 公式法：,(2) 表格法：,概率,其中,且,4. 分
6、布律的重要意义：,分布律确定概率,例：设X的分布律为：,(1) 求P(0X2).,P(0X2),解：,=P(X=1)+P(X=2),=1/2+1/6=2/3,(2) 求X的分布函数F(x).,解：,X的分布律：,概率,(2) 求X的分布函数F(x).,解：,(a),(b),= 1/3+1/2,(c),= 1/3,= 5/6,(d),= 1,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,X的分布律：,概率,(2) 求X的分布函数F(x).,解：,X的分布函数F(x)为：,分布律,分布函数,等价,二、常用离散型分布,1. 0-1分布(二点分布 ),则称X服从参数为 p 的 0-1分布.,注：样本空间只有
7、两个样本点时可用0-1分布描述,例如：,如果随机变量X的分布律为：,(1) 上抛一枚硬币,(2) 检验合格品和次品,2. 二项分布 Binomial distribution,在n重贝努利试验中，如果以随机变量X表示n次 试验中事件A发生的次数, 则X可能的取值为0, 1, 2, 3, , n, 且由二项概率得到X取k值的概率：,则随机变量X的分布律为：,概率,称这个分布为参数为n, p的二项分布(Bernoulli分布)， 记为,3. 泊松分布 Poisson distribution,设随机变量 X 的分布律为:,则称随机变量X服从参数为的泊松分布. 其中 0. 并记为,例：实际问题中服从
8、或近似服从Poisson分布的情形,(1) 服务台在某时间段内接待的服务次数,(2) 交换台在某时间段内接到呼叫的次数,(3) 矿井在某段时间发生事故的次数,(4) 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目,(5) 单位体积空气中含有某种微粒的数目,泊松定理,4. 二项分布的泊松近似,The Poisson Approximation to the Binomial Distribution,实际应用中：当n较大，p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式,泊松公式,二项概率公式,例：某人骑摩托车上街，出事故率为0.02，独立重复上街400次，求出事故至少两次的概率.,400次上街 4
9、00重Bernoulii实验,记X为出事故的次数，则：,解：,结果表明：随着试验次数的增多，小概率事件总会发生！,若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次， 则至少成功一次的概率为,成功次数服从二项概率,有百分之一的希望，就要做百分之百的努力！,一、概率密度函数及其性质 Probability Density Function,1. 定义,如果随机变量X的分布函数F(x)对每一x可表示为,4.3 连续型随机变量,其中 ，则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概率密度函数(简称概率密度 或密度函数)，并称X的分布为连续型分布， F(x)成为X的分布函数.,注意：,1. 数学符号：
10、,随机变量X的分布函数,随机变量X的概率密度函数,2. 连续型随机变量的概率密度函数与分布函数的关系：,概率密度函数,分布函数,求导,求积,3. 连续型随机变量的分布函数表示事件：,(1) 事件,(2) 事件,(3) 事件,2. 概率密度函数 f(x)的性质,(1) 非负性：,(2) 规范性：,(3) 事件的概率与概率密度函数的关系：,(a) 事件,(b) 事件,(c) 事件,概率密度函数在区间上的积分 = 随机变量在区间上取值的概率,概率密度函数,随机变量,(1) 分布函数F(x)是连续函数，且,X取值在a, b上的概率等于密度函数在a, b上的定积分,3. 连续型随机变量的分布函数的性质,
11、(2) 对于任意一个常数c， ，有：,(3) 对于任意两个常数a，b， ，有：,Step1: 利用密度函数的性质求出参数 a,例：已知随机变量X的概率密度函数为：,Step2: 密度函数的积分得到概率, 求概率,解：,规范性,例：已知随机变量的分布函数：,求(1) ；(2) X 的密度函数.,(2) X的密度函数为：,解：,(1),解：,(1) 当 x 1 时，,(2) 当1 x 5 时，,例：已知随机变量X的密度函数为：, 求X的分布函数,(3) 当 x5 时,故 X的分布函数为：,练习题,已知随机变量X的分布函数为：,求(1) P(-1X2)； (2) 求X的密度函数.,下课了！ 今天就到
12、这里吧！,1. 均匀分布 Uniform Distribution,若连续型随机变量X的概率密度为:,则称X服从区间(a, b)上的均匀分布记为 X R (a, b),二、常用连续型分布：,注：服从区间(a, b)上均匀分布的随机变量X的分布函数,(1) X“等可能”地取区间(a, b)中的值,均匀分布的意义,(2)“等可能”理解为： X落在区间(a, b)中任意等长度的子区间内的可能性 是相同的,(3) X落在区间(a, b)中任意等长度的子区间内的概率只 依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关,2. 指数分布 Exponential Distribution,若连续型随机变量X的概率密度为
13、,注：服从指数分布的随机变量X的分布函数为：,则称X服从参数为的指数分布. 记为,例：设X服从参数为3的指数分布，求它的密 度函数及P(X1)和P(-1X 2) .,解：,X的概率密度函数为：,3. 正态分布 Normal Distribution,则称X服从参数为,的正态分布. 记为,若连续型随机变量X的概率密度为,注：服从正态分布的随机变量X的分布函数为：,正态分布的密度函数 f (x)的性质与图形,正态分布的密度函数 f(x)的图形,f (x)关于 x = 对称,(1) 对称性：,(2) 最大值：,f(x)在 x = 处取得最大值,f(x)在(- ，)内单调增加，在(，+ )内单调减少,
14、(3) 单调性：,(4) 拐点:,正态分布的参数对密度曲线的影响,正态分布的参数，对密度曲线的影响,相同不同，图形相同，位置平移,正态分布的参数对密度曲线的影响,正态分布的参数，对密度曲线的影响,相同不同，越小图形越陡,X的取值几乎都落入以为中心，以3为半径的区间内,的3准则,是小概率事件,正态分布的分布函数的图像,4. 标准正态分布 Standard Normal distribution,X N(0, 1)分布称为标准正态分布,(1) 标准正态分布的密度函数,(2) 标准正态分布的分布函数,(3) 标准正态分布的概率计算,分布函数,(a) 当x0时，(x)的值可以查表,(b) 特殊值：,(
15、c) 当x0时：,(d) 常用的计算公式：,(4) 一般正态分布的标准化,定理,查标准正态分布表,概率计算,(5) 一般正态分布的概率计算,例：设XN(1，4)，求P(0X1.6),解：,正态分布的实际应用,已知90分以上的12人，60分以下的83人， 若从高分到低分依次录取，某人成绩为 78分，问此人能否被录取？,某单位招聘155人，按考试成绩录用，共 有526人报名，假设报名者的考试成绩为：,分析：成绩服从正态分布,(2) 然后根据录取率或者分数线确定能否录取,解：,录取率为：,可得：,得：,查表得：,成绩X服从正态分布,故,设录取的最低分为,则应有,某人78分，可被录取。,下课了！ 今天就到这里吧！,