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1、求无限长线电荷在真空中产生的电场。,解：取如图所示高斯面。,由高斯定律，有,分析：电场方向垂直圆柱面。 电场大小只与r有关。,例,典型例题,解：1) 取如图所示高斯面。,在球外区域：ra,分析：电场方向垂直于球面。 电场大小只与r有关。,半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。,求：（1） （2） （3）,在球内区域：ra,例,2）解为球坐标系下的表达形式。,3）,求电偶极子 在空间中产生的电位和电场。,分析：电偶极子定义,解：取无限远处为电位参考点。,电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统,电偶极矩 ：,例,求半径为a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和电
2、场强度,解：在面电荷上取一面元 ，如图所示。,例,半径为a的球形电介质体，其相对介电常数 , 若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。,解：由高斯定律，可以求得,在媒质内：,体极化电荷分布:,面极化电荷分布:,在球心点电荷处：,例,在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的z分量为 ，极化强度 求：介质中的电场强度 和电位移矢量 。,解：由定义，知：,例,半径为a的带电导体球，已知球体电位为U， 求空间电位分布及电场强度分布。,解法一：导体球是等势体。,时：,例,时：,解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。,设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场强度为：,同轴线内导体半径为
3、a，外导体半径为b。内外导体间充满介电常数分别为 和 的两种理想介质，分界面半径为c。已知外导体接地，内导体电压为U。 求:(1)导体间的 和 分布； (2)同轴线单位长度的电容,分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边 连续,解：设内导体单位长度带电量为,由高斯定律，可以求得两边媒质中，,例,球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为b。其间充满介电常数为 和 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。,分析：电场平行于介质分界面，由边界条件可知，介质两边 相等。,解：令电场强度为 ，由高斯定律,例,同轴线填充两种介质，结构如图所示。两种介质介电常数分
4、别为 和 ，导电率分别为 和 ，设同轴线内外导体电压为U。 求：(1)导体间的 ， ， ； (2)分界面上自由电荷分布。,解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用高斯定理求解。,设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。,则：,由边界条件，边界两边电流连续。,例,由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：,2）由边界条件：,在 面上：,在 面上：,在 面上：,平行双线，导线半径为a，导线轴线距离为D 求：平行双线单位长度的电容。（aD),解：设导线单位长度带电分别为 和 ，则易于求得，在P点处，,导线间电位差为：,例,计算同轴线内外导体间单位长度电容。,解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别
5、为 和 ，则内外导体间电场分布为：,则内外导体间电位差为：,内外导体间电容为：,例,由边界条件知在边界两边 连续。,解：设同轴线内导体单位长度带电量为,同轴线内外导体半径分别为a,b，导体间部分填充介质，介质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体间电压为U。,求：导体间单位长度内的电场能量。,例,两种方法求电场能量：,或应用导体系统能量求解公式,已知同轴线内外导体半径分别为a,b，导体间填充介质，介质介电常数为 ，导电率为 。已知内外导体间电压为U。 求：内外导体间的 1） ;2） ;3） ;4） ; 5） ;6）,分析：为恒定电场问题。 电荷只存在于导体表面，故可用静电场高斯定理求解。,解法一
6、：应用高斯定理求解。,设内导体单位长度电量为 则,例,解法二：间接求解法,由于内外导体间不存在电荷分布，电位方程为,解法三：恒定电场方法求解,令由内导体流向外导体单位长度总电流强度为I，则,导体球壳，内径为b，外径为c，球壳球心为半径为a导体球，导体球带电量Q,中间充满两种介质，介电系数分别为1和2，介质分界面如图所示。 求：（1）空间场分布E(r)； （2）空间电位分布； （3）极化电荷分布； （4）系统电场能量。,解：由边界条件知， 连续。,（1）ra，该区域为导体空间，故： =0；,arb，由高斯定理有,例,Q,brc，该区域为导体空间，故： =0；,rc，,（2）求电位分布。,rc，,
7、arb，,ra,brc，为导体区域，等势体，电位等于外表面电位,（3）媒质为均匀媒质，其内部不存在极化电荷,r=a面上：,r=b面上：,（4）总电场能量为,解：根据安培环路定律,当ra时,当ra时,例题 半径为a的无限长直导体内通有电流I，计算空间磁场强度 分布,例题 内、外半径分别为a、b的无限长中空导体圆柱，导体内沿轴向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为 导体磁导率为 。求空间各点的磁感应强度,分析：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布。,解：根据安培环路定律,在ra区域：,在arb区域：,在rb区域：,所以，空间中的 分布为：,例 无限长线电流位于z轴，介质分界面为平面，求空间的 分布
8、和磁化电流分布。,分析：电流呈轴对称分布。可用安培环路定律求解。磁场方向沿 方向。,解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知，在分界面两边， 连续而 不连续。,由安培环路定律：,介质磁化强度为：,体磁化电流为：,面磁化电流为：,在介质内r=0位置，还存在磁化线电流Im。由安培环路定律，有：,也由电流守恒的关系求磁化线电流,例 如图，铁心磁环尺寸和横截面如图，已知铁心磁导率 ，磁环上绕有N匝线圈，通有电流I。 求:(1)磁环中的 ， 和 。 (2)若在铁心上开一小切口，计算磁环中的 ， 和 。,解：(1)由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得,(2)开切口后，在切口位置为边界问题。在切口处
9、，磁场垂直于边界面，由边界条件知在分界面上 连续， 不连续。,由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得,由于铁心很细，可近似认为磁力线均匀分布在截面上。,分析：内导体为粗导体，故内导体存在内自感。因此同轴线自感由同轴线内自感和内外导体间互感组成。,解：设同轴线内导体载流为I，则由安培环路定律，知,例 求同轴线单位长度的自感。设同轴线内径为a，外径为b，内外导体间为真空。导体磁导率为,同轴线单位长度自感由内导体内自感和内外导体互感构成。即：,如图，在内导体内取一长为单位长度，宽为dr的矩形面元，则通过该面元的磁通为：,令与 所交链的电流为I,可知,若将整个内导体电流看作1匝，则与 交链的电
10、流为,由磁链定义，知与 对应的磁链为：,整个内导体单位长度的内磁链为,故内导体单位长度的内自感为,易求得，内外导体间单位长度磁链为：,例 求半径为a的无限长直导线单位长度内自感。,解：设导体内电流为I，则由安培环路定律,则导体内单位长度磁能为,例 求双传输线单位长度自感。设导线半径为a，导线间距为D。(Da),分析：导线为细导线，故只需考虑导体间的互感。,解：由安培环路定律，可以求得在导体间磁感应强度分布：,则导体间单位长度的磁通量为,试求：（1）磁场强度 ；（2）导体表面的电流密度 。,解：（1）将表示为复数形式，有,由复数形式的麦克斯韦方程，得磁场的复数形式,例:在两导体平板（ 和 ）之间的空气中，已知电场强度,磁场的瞬时表达式为,处导体表面的电流密度为,（2） 处导体表面的电流密度为,