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1、第一章 机械优化设计的基本问题,图1.1为由两根钢管组成的对称桁架。A处垂直载荷 P=300 000N，2L=152cm，空心钢管厚度T=0.25cm， 材料弹性模量E=2.16 X 107N/cm2， 屈服极限s = 70 300N/cm2。 求：在满足强度条件和稳定性条伴下，使体积最小的 圆臂直径d和桁架高度H。,1.1 机械优化问题示例,1.1.1 工程结构优化设计,解:为保证桁架可靠地工作，就必须要求杆件具有足够的抗压强度和稳定性。 抗压强度: 杆件截面上产生的压应力不超过材料的屈服极限;,杆内力:,杆截面压应力：,抗压强度： s,其中,稳定性:杆件截面上的压应力不超过压杆稳定的临界应
2、力。,满足稳定性不发生屈曲破坏的条件为：,为压杆屈曲极限,按欧拉公式,I为圆管的 剖面惯性矩,要求在具有足够的抗压强度和稳定性的条件下，求总体积 最小的杆件尺寸参数H和d， 则表达式如下：,结构总体积：,要求满足：,抗压强度,稳定性强度,问题的最优解为： 最优点： d=4.77cm ; H=51.31cm 最优点的体积为： W=686.73cm3,112 机械零件优化设计,图1.3所示压力容器，内径Do=0.l2m，内部气体压强P=l2.75X106 N/m2，置螺栓的中心圆直径D=0.2m, 要求选择螺栓的直径d和数量n，使螺栓组的总成本最低。,解:首先螺栓要满足强度要求，所用螺栓数量要考虑
3、密封要求，又要兼顾装拆的扳手空间。 螺栓组的总成本： Cn=C n; 式中，C为螺栓单价; n为螺栓个数。,单价c与螺栓材料，直径d，长度l及加工状况有关。本组螺栓取35号钢，长度l=50mm的六角头半精制螺栓，单价见下表,由表中数据初步画C=f(d)曲线，由下图线形回归法求得 方程：,0.05,0.10,0.15,0.20,0.25,0,10,20,C（元）,D（mm）,得：,所受的限制为,(1)螺栓的强度限制,单个螺栓的许用载荷为F，用回归分析法得,取安全系数,则螺栓强度条件为：,带入已知 数据得：,（2）扳手空间条件,为保证装拆时有足够的扳手空间，螺栓的周向间距要大于5d，则有条件,或,
4、（3）密封条件,为保证容器密封，压力均匀且不漏气，据经验，螺栓周向间距要小于10d，则约束函数,或,该问题属于二维约束问题,1.1.3连杆机构优化设计,由图所示六杆机构。它是铰链四杆机构ABCD和带有滑块5的摆杆6由连杆BE连接而成的。原动件AB逆时针转动使从动件6绕P点往复摆动。机架AD水平置放，F点已选定。 要求： 当原动件AB转角0在180300o范围内， 摆杆6处于LM位置不动， 即从动件摆杆产生间歇运动。 试设计六杆机构尺寸参数l1、l2、l3、l4、l5及。,以点A为坐标原点建立xAy直角坐标系,期望的LM直线轨迹用点M（xM，yM），L（ xL，yL ）写出， 即,令,则LM直线
5、方程 ax+by+c=0,由于四杆机构尺寸的缩放不影响连杆E点的轨迹形状，只取 决于机构待求参数：l1、l2、l3、l5及 （l4=1），于是连杆 上Ei点的坐标 以下列函数表示：,为提高设计精度，应使机构欲实现的轨迹点 到给定直线ML的垂直距离di最小， di为设计偏差，有 数学公式,为使机构连杆点E所实现的一段轨迹以最高的精度接近 期望的线段 ，所以要求在曲柄转角 范 围内，分点数i=1-n的n个点上的偏差平方和达到最小， 即,为保证连杆机构整周转，传动角满足许用值要求等，有 以下限制条件：,（1）AB是曲柄的条件,（2）传动角满足许用值条件,（3）其它限制条件,按给定轨迹设计四杆机构的问
6、题可归结为 这样一个优化设计的问题: 求一组机构参数l1、l2、l3、l5， ，在 满足曲柄，传动角条件及其它限制条件下， 当曲柄转角在某给定范围内，连杆上E点的 轨迹偏差平方和达到最小。,1.1.4 生产管理优化,例题 某车间有四台机器，每台拟生产3种类型零件，每小 时个零件或利润间表a，生产不同零件的速率见表b，本月 对1，2，3种零件的需求量分别为700，500，400个；四 台机器可提供的工作时间分别为90，75，90，80h，如何 安排生产可获利最大？,表a，每小时生产零件利润量,表b，各机器生产零件速率,解：为获利润最大，需合理确定每台机器生产某种零件 若干，设xij表示第j台机器
7、生产第i中零件的件数。,一个月内获总利润：,且要满足以下约束条件：,（1）数量需求限制,（2）工时需求限制,（3）非负条件,1.2 优化设计的数学模型,机械优化设计是欲对某机械设计项目取得一个最优 方案。所谓一个设计方案一般是用一组参数来表示。 设计参数在优化设计中分成两种类型：设计常量和 设计变量。 设计常量：可以根据设计的具体悄况或成熟的经验 预先给定 。对设计结果影响不大的参数也常作为设计 常量处理:,1.2.1 设计变量,数学模型包括三个部分：一是需求解得一组参数，这组参数在设计中 作为变量来处理，称为设计变量；二是有一个明确的追求目标，这个 目标以设计变量的函数来体现，称为目标函数；
8、三是有若干必须的限 制条件，设计变量的取值必须满足这些限制条件，称为设计约束,设计变量：在设计过程中需优选的参数，把它作为优化设计中的设计变量。即在设计过程中作为变量处理以供选择、并最终必须确定的各项独立参数 ； 设计变量按取值是否连续分为连续变量和离散变量； 设计变量的数目称为优化问题的维数；一个设计方案也常称为设计矢量，矢量端点称设计点；,设计点的集合称为设计空间。以n个独立变量为坐标轴组成的n维向量空间是一个n维实空间，用Rn表示。工程设计中的设计变量均为实数，且任意两矢量有某种计算，则这样的空间又称为n维实欧氏空间。,设计变量的表示形式,1.2.2 目标函数,目标函数的表达式： F(x
9、)=F(x1,x2,xn) 优化设计的过程是使目标函数最小，写成 min F(x) 分单目标函数和多目标函数 多目标函数 如图1.7所示，设计一个剪切钢板的飞剪机构。该机构有3个设计准则,（1）按重叠度准则：,（2）按位置误差准则：,（3）按水平分速度准则：,1.2.3 约束条件,设计点的集台构成设计空间，n维设计问题属于n维欧氏空间，如对设计点的取值不加以限制，则设计空间是无限的，凡属这类的优化设计问题称为无约束优化问题。但在实际问题中设计变量的取值范围是有限制的或必须满足一定条件，在优化设计中。这种对设计变量取值的限制条件，称为 约束条件或设计约束。 它也用数学式来表达： 不等式约束 gu
10、(x)0，u=1,2,p 等式约束 hv(x)= 0, v=1,2,q 例如：要求一对齿轮具有等弯曲强度，可写成： F1 F2=0 或 h(x)=F1 F2=0,约束条件按约束的性质分, 有边界约束与性能约束两类。 边界约束是对某些设计变量的取值范围加以限制，即某变量的上、下界。 性能约束或称性态约束是指在优化设计中按某种性能要求而构成对设计变量的约束，在机械优化设计中，常常要求结构中各尺寸参数的关系、运动学、动力学以及强度等多方面限制而构成性能约束，这些约束一般以约束方程来表达。,关于可行域与非可行域问题。对于约束优化问题，设计点x在n维实欧氏空间Rn内的集合被分成两部分：一部分是满足所有设
11、计约束条件的设计点集合，这个区域称为可行设计区域，简称可行域，记作D ；设计点只能在可行域内选取，可行域内的设计点称为可行设计点。而其余部分则为非可行域，设计变最在非可行域内取值对设计是无意义的，即为非可行设计点。当设计点处于某一不等式约束边界上时，称边界设计点，它是一个为该项约束所允许的设计方案。 二维设计问题的可行域可在x1ox2平面直角坐标系表示,见图1.8；三维的可行域可在空间直角坐标系中表示。,1.2.4 数学模型表示式,无约束优化问题数学模型的一般表达式,约束优化问题数学模型的一般表达式 minF(x) x Rn D: gu(x) 0，u=1,2,p hv(x) = 0, v=1,
12、2,q 最优点： x*=x*1 x*2 x*nT 最优值： F* = F(x*) 最优解： （x*，F*),1.2.5 优化问题的几何描述,设有二维不等式约束优化问题数学模型如下：,D:,1.3 优化计算的数值解法及其 收敛条件,迭代点x(k)，当k=0时，X(0)称为初始点 搜寻方向 S(k) 步长（k） 迭代公式： x(k+1)= x(k)+ (k) S(k),1.3 优化计算的数值解法及其 收敛条件,1.3.1 优化计算的迭代过程,优化设计的迭代计算,迭代过程,x(0),x(1),x(k),s(0),a(0),1.3.2 迭代计算的终止准则,点距准则 | x(k+1) - x(k)| 1 函数下降量准则 当|F(x(k)|1时 |F(x(k+1) F(x(k)| 2 否则 |F(x(k+1) F(x(k)| / F(x(k) 2 梯度准则 | F(x(k)| 3,