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1、周 圣 武,数理统计,Tel: 13852138385 E-mail: ,中国矿业大学 理学院,离散型随机变量的函数及其分布,1.4 随机变量的函数及其分布,连续型随机变量的函数及其分布,（1）一维离散型随机变量的函数及其分布,当X为离散型随机变量时，Y=g(X)也是离散型随,机变量，并且在X分布律已知的情况下，求Y的分布,律是很容易的。,例1. 已知X 的分布律为,求Y=2X1，Z=X21的分布律。,解 ,故Y的分布律为,故Z 的分布律为,注意, 当,互不相等时，则,由,可得, 当,，则把那些相等的值合并，,并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律。,例2. 设某工程队完成某项工程所
2、需时间为X(天)近似,服从参数为,的正态分布，奖金方法,规定，若在100天内完成，则得超产奖10000元；若在,若在100天至115天内完成，则得超产奖1000元；若完,成时间超过115天，则罚款5000元。求该工程队在完成,这项工程时，奖金额Y的分布律。,解 依题意,可见Y是X的函数，且是离散型随机变量。,则Y的分布律为,（2）二维离散型随机变量的函数及其分布,设离散型随机变量,的分布律为,设,为二元函数，因为,是离散,的，故,也是离散型随机变量，现在,求,的分布律。,当,时，Z 相应的值为,且有,解,且,同理可得下表,化简整理，得各函数的分布律为：,因为,而,不相互独立。,故,解 由题意可
3、知,故,独立性,故,泊松分布具有可加性！,思考题,1.设 X B (1, p), Y B (1, p), 且相互独立，,求 Z=X + Y 的分布律。,2.设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且相互独立，,求Z= X + Y 的分布律。,3.设 X 服从参数为的Poisson分布， Y 的概率密度为f(x)，且X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率分布。,. 分布函数法（一般的函数都适用）, 先求,的分布函数, 再利用,的分布函数与概率密度之间,的关系求,的概率密度为,（3）一维连续型随机变量的函数及其分布,解 先求 Y =2X +8 的分布函数,得 Y =2X +8 的概率密
4、度为,设X U(1,1)，求Y=X 2的分布函数与概率密度。,例2,解 由已知得,则Y的分布函数,当y0时，,; 当y1时，,当0y1时，,设X U(1,2)，求Y=X2的分布函数与概率密度。,例3,解 由已知得,则Y的分布函数,当y0时，,; 当y4时，,当0y1时，,当1y4时，,所以Y 的分布函数为,上式对Y 求导，即得,的概率密度为,. 公式法（只适用于单调函数）,定理 设 随机变量X具有概率密度,处处可导,且是严格单调函数,则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为,其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，与具体题中再定。,例4 设,证明Y=aX+b也服从正态分布(a0),解 Y=
5、aX+b关于x严格单调，反函数为,故,而,故,由上式可知,特别地，取,得,（4）二维连续型随机变量的函数及其分布,问题：已知( X , Y )的联合分布，,求Z = g ( X , Y )的分布。,现在讨论两种比较常见的函数：,.,.,.,的分布,例,已知( X , Y )的概率密度为,解,的分布函数为,将以上二重积分化成累次积分,特别地,当X 与Y 相互独立时, 有,上式称为,的卷积公式,记为,由X与Y的对称性，又可得,解,由题意可知X 与Y 的概率密度分别为,由卷积公式可得 Z 的概率密度为,定理 (正态分布的可加性),若随机变量,相互独立，并且,则,其中,为常数。,解 ,的概率密度为,由
6、,如右图,所以, 关于 X 的边缘概率密度为,由式可得,例3 设 ( X , Y ) 的概率密度是,求 (1) c 的值;(2)两个边缘密度.,解 (1),（续） 设 ( X , Y ) 的概率密度是,求 (1) c 的值;(2)两个边缘密度.,解：(2),.,的分布,最大最小分布有广泛的应用：在一个系统中要,考虑元件组的最大最小寿命；建筑桥梁时，要考,虑使用期内洪水最高水位等。这些问题的解决对,经济建设是有很大意义的。,例,已知X , Y 相互独立，,的分布函数。,解,的分布函数为,的分布函数为,所以,推广 设,独立同分布，,解 X 的分布函数为,的分布函数为,所以M 的概率密度为,于是,解 由题意可得,则 ,时,时，,所以,均为随机变量，也构成了一个二维随机向量,如何求（Y1,Y2 ) 的联合密度函数,3.随机向量的变换,的联合分布函数：,称为变换的Jocobi 行列式。,换元必换积分区域,其中,例,解,因此得,即,例子见书p13,对此二重积分作换元，令,变换的Jocobi行列式,此变换把区域D变换为区域,由二重积分的换元公式得,Thank you,