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1、第三节 泰勒公式,一、问题的提出,二、泰勒公式,三、麦克劳林公式,四、泰勒公式的应用,第三章,一、问题的提出,1、关于多项式,由于它本身的运算仅是,多项式 是最,简单的一类初等函数.,所以在数值计算方面，,多项式是人们乐于使用的工具.,有限项加减法和乘法，,因此我们经常用多项式来近似表达函数,初等数学已经了解到一些函数如 :,2、近似计算举例,的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样,来计算它们？,些结果提供了近似计算这些函数的有力方法.,高等数学微分学中所研究出来一,线性逼近优点:形式简单，计算方便；,一次（线性）逼近,利用微分近似计算公式,，对 附近的 ,的线性逼近为:,不足：离原点O越远
2、，近似度越差.,y=1,y,x,1,-1,二次逼近,期望：,二次多项式 逼近,它要比线性逼近好得多，但局限于 内.,y=1,y,x,1,-1,八次逼近,八次多项式 逼近,令： ,求出, ,比 在更大的范围内更接近余弦函数.,y=1,y,x,1,-1,(1),则有,由极限和无穷小量间的关系,(2),由微分有,- x 的一次多项式,从几何上来讲，就是在 x0 点的附近可以用曲线在该,点处的切线来拟合曲线。-以直代曲,用常数代替函数误差太大,不足: 1、精确度不高；2、误差不能估计。,就必须用高次多项式来近似表达函数 同时给出,问：若f (x)在 x0 处二阶可导,会不会有一个二次多项式来近似表示？
3、,若f (x)在 x0 处 n 阶可导, 结果又会如何？,因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候,误差公式。,问题：给定一个函数f (x)，要找一个在指定点 x0 附近,与f (x)很近似的多项式函数P (x)，,记为,使得,误差,可估计,问：要找的多项式应满足什麽条件，误差是什么？,从几何上看，,代表两条曲线，,要使它们在x0附近与很靠近，,很明显,首先要求两曲线在,相交,要靠得更近还要求两曲线在,相切,要靠得更近还要求两曲线在,弯曲方向相同,因为弯曲程度要用切线的变化率-二阶导数来刻画.,进而可推想：若在,附近有,近似程度越来越好,从物理上看,是两个质点的运动方程 ,则 表示两个质点在
4、 t 时刻位置相同；,表示两个质点在t 时刻位置、速度均相同；,表示两个质点在t 时刻位置、速度、加速度均相同;,一种情形比一种情形更相近.,我们知道速度是路程的变化率，,加速度是速度的变化率,可以推想，,假设在t 时刻加速度的变化率乃至更高阶的,变化率都相等，,则在t 时刻两个质点的运动状态会更接近。,综上所述，,无论几何的或物理的两方面都启示我们,所要找的多项式应满足下列条件,具有直到 阶导数，,设,由此便得,那么,误差,定理1,二、泰勒（Taylor）公式,（泰勒公式）如果函数 在含 的某个,开区间 内具有直到 阶导数，,其中：,（ 在 与x 之间）,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,
5、公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,证明:,证明:,欲证式成立，只要证 式成立,其中：,（ 在 与x 之间）,只要证,为此令,因为 有 阶导， 有任意阶导，故,也有 阶导，且,对 和 在 及,为端点的闭区间上应用Cauchy定理,证毕！,定理1,（泰勒公式）如果函数 在含 的某个,开区间 内具有直到 阶导数，,（ 在 与x 之间）,式称为 的具有拉格朗日型余项 的n 阶泰勒公式 .,称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,余项,（ 在 与x 之间）,关于泰勒公式的几点说明,其中：,1.,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项
6、.,注意到,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,公式 称为具有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式.,2.特例:,(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为,(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,3.在公式中，,从而泰勒公式变成如下形式，,称为带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式,三、麦克劳林(Maclaurin)公式,由此得到近似公式：,3.在公式中，,从而泰勒公式变成如下形式，,称为带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式,与泰勒多项式相应，上式右端的多项式称为f(x),的n阶麦克劳林多项式，,相应变成：,四、几个初等函数的麦克劳林公式：,例1
7、 求出函数 的n阶麦克劳林公式.,此时的误差估计式,解 因为,把这些值代入式，,所以,并且注意到:,，就得到:,四、几个初等函数的麦克劳林公式：,例1 求出函数 的n阶麦克劳林公式.,解 因为,把这些值代入式，,所以,，就得到:,由这个公式可知，如果 用它的n阶麦克劳林多,多项式近似表达:,那么当x0时的误差为:,如果取x=1，就得到e的近似式为:,其误差 :,多项式近似表达:,那么当x0时的误差为:,如果取x=1，就得到e的近似式为:,例2 求出函数f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式.,解 因为 ，所以,于是由公式得到,其中,当m=1时误差为：,类似地，还可以得到：,其中：,其中,已知,例3 求出函数 f (x)=ln(1+x) 的n阶麦克劳林公式.,其中,又,其中,例4 求出函数 f (x)=(1+x)的n阶麦克劳林公式.,几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：,几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：,四、泰勒公式的应用,例1 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，,求极限,解 因为分式函数的分母是 ，我们只需将分,子中的cosx与ln(1+x)分别用二阶的麦克劳,林公式表示：,和仍记为 ，就得：,对上式作运算时把所有比 高阶的无穷小的代数,故,有：,解,例2,例3,利用泰勒公式求,解,