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1、教学内容:导数在经济分析中的应用,边际函数 反映了函数 在点 处的 变化率。,1.定义:设函数 在点 处可导，则称导数 为函数 在x处的边际函数。,一.边际分析,称 为函数 在 处的边际函数值。,例如，,求函数 在点 处的边际 函数值,并说明意义.,解:因,所以,即边际函数值为14.,它表示函数 在 处，当 改变一个单位时，函数 (近似地)改变14个单位。,在经济活动分析中，边际函数主要有 边际成本、边际收益、边际利润等.,二、边际成本,1.总成本函数,2.边际成本,即增加的这一个单位产品成本是,4、边际分析,经济中经常比较边际成本值与平均成本值的大小关系，以确定产量的变化,即此时应该增加产量
2、，以降低产品的平均成本,即此时应该降低产量，以降低产品的平均成本,例1.设总成本函数为: 求： 边际成本函数； 生产50个单位时的平均单位成本，和边际成本值，并解释后者的经济意义。,解: 边际成本函数为, 时的平均单位成本为,(3) 时的边际成本为,经济意义：当产量达到50个单位时，如果再增加1个产量,成本将增加为17.5元。,某工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的 总成本C（元）是日产量x（吨）的函数： ， 求当日产量为100吨时的边际成本，并解释经济 意义。,边际成本： 经济意义是：当产量是100吨时，每增加1吨 产量，成本增加9.5元。,例.设某工厂生产某种产品，固定成本为50个单位
3、，每生产一个 单位的产品，成本将增加2个单位；价格与销售量的关系为,其中Q为产量(假定销售量等于产量)，P为产品的价格.,求当Q=10时的边际成本、收益与利润，并说明其经济意义.,解 总成本函数为,边际成本为,总收益函数为,边际收益为,总利润函数为,边际利润为,边际成本为,边际收益为,边际利润为,表示当产量为10个单位时，再生产一个单位的产品， 总成本增加2个单位；,表示当产量为10个单位时，再增加一个单位的销售量， 总收益增加6个单位；,表示当产量为10个单位时，再增加一个单位的销售量， 总利润增加4个单位.,例.设某产品的销售量与价格的关系为,解 总收益函数为,边际收益为,表示当销售量为9
4、个单位时，再增加一个单位的销售量，总收益(约)增加4个单位；,表示当销售量为15个单位时，总收益达到最大值，再增加销售量总收益不会再增加；,表示当销售量为18个单位时，再增加一个单位的销售量，总收益反而(约)减少2个单位.,设函数 在点 处可导，称极限 为函数 的弹性函数，记为 ，即,二. 弹性分析,1.定义:,2.在点 处，弹性函数值 称为函数 在点 处的弹性值，简称弹性。,它表示在点 处，当 变动1%时， 的值 (近似地)变动,例.设函数 ， 求其弹性函数以及 在 处的弹性。,解:,所以弹性函数,(3) 在 处的需求弹性，记作,设某商品的市场需求量,称为需求函数. 一般情况下为减函数.,(
5、2)需求弹性,在经济学中,规定需求弹性为,表示当价格为 时,价格每上升1%时,需求量将减少,例 设某种商品的需求函数为,Q为需求量，,求当价格,时的需求弹性，并说明其经济意义.,解,其经济意义是，当价格为 P=3 时,价格再上涨 1% ,需求量就减少 0.6%.,而销售量 Q 是价格 P 的函数 Q= Q(P) ，,(1)若 ,需求变动的幅度小于价格变动的幅度； 即价格上涨（或下跌），收益增加(或减少),(2)若 ,需求变动的幅度大于价格变动的幅度； 价格上涨（或下跌），收益减少(或增加),(3)若 ，需求变动的幅度等于价格变动的幅度； 价格变动，收益不变。,例.设某商品的需求函数为 ，求 需
6、求弹性函数； P=4 时的需求弹性，并说明其经济意义； P=4 时，价格上涨1%，其总收益增加还是减少？变化的幅度是多少？ 当 P 取多少时，总收益最大？,解: 需求弹性函数：, 当 P=4 时的需求弹性,这说明，在P=4时，价格每上涨1%，则需求量减少0.54%；或 价格若下降1%,则需求量增加0.54%。,(3)当P=4时的收益弹性:,所以，当P=4时，价格上涨1%，总收益增加0.46% 。, 要使总收益R(P)最大，应有需求弹性 即,得P=5, P=-5（舍去），故当P=5时，总收益取得最大值。,例.设某商品的需求函数为 ，求 需求弹性函数; P=4 时的需求弹性，并说明其经济意义； P=4 时，价格上涨1%，其总收益增加还是减少？变化的幅度是多少？ 当 P 取多少时，总收益最大？,1. 设某商品的供给函数为 ，求供给弹 性函数以及 时的供给弹性 2. 某产品的需求量Q与价格p之间的关系式为 ，求需求弹性。如果价格为0.5，试确 定此时需求弹性的值。,答案：1. 2.,