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1、第二节 换元积分法,一、第一类换元法,二、第二类换元法,三、小结 思考题,1.【问题】,？,2.【解决方法】,3.【过程】,令,一、第一类换元法凑微分法,利用复合函数求导法，设置中间变量，把较难求的不定积分化为较易求的不定积分。,我们称利用中间变量的代换求积分的方法为换元积分法。换元积分法分两类：第一类换元法（凑微分法），第二类换元法（变量代换法）。,复合函数的积分法换元法,设,则,由此可得换元法定理,4. 【凑微分法方法推导】,5.【定理1】,第一类换元公式（凑微分法）,将u换为x的可微函数仍然成立，这就大大扩大了基本积分公式的使用范围.,【说明】,用此公式关键在于将,化为,即,【实质】,将
2、g(x)的积分转化为f (u)的积分，如能求得 f (u)的原函数，也就得到了g(x)的原函数.,【例1】求,【解】,【解】,【解】,【注】观察重点不同，所得结论不同.见下例,6【主要类型】,【例2】求,【解】,（略）,公式,公式,【例如】求,【解】,可省略，直接套上页公式,【例3】求,【解】,【例4 】求,【解】,公式,即,类似地,公式,降幂法,类似可求,拆开奇次项凑微分,【例5】求,【解】,降幂法,【说明】化乘除为和式：积化和差降幂.,即,公式,角不相同,类似地,公式,拆开奇次项凑微分,【例6】求,【解】,【例7】求,【解】,（前已讲过.略）,有理化,指数代换第二换元法,同上,【例8】 设
3、 求 。,【解】,令,则,公式,分解为最简分式之和,【例9】,（降幂）,（继续降幂）,【例10】,(展开),(展开),二、第二类换元法变量代换法,1.【引例】,2.【解决方法】,改变中间变量的设置方法.,过程,（应用“凑微分”即可求出结果）,【证】,设 为 的原函数,令,得,则有换元公式,【定理2】,由复合函数及反函数求导法则,第二类积分换元公式,3. 【变量代换法定理】,即,简言之,【第一换元法】,【第二换元法】,积分之,积分之,4.【变量代换主要类型】,【例9】求,目的是化掉根式。,【解】, 令, 令,令,【说明】,当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中n为各根指数的最小
4、公倍数）,一般规律如下：当被积函数中含有,目的也是化掉根式。,【例10】求,【解】,令,即,公式,【例11】求,【解】,令,【例12】求,【解】,令,即,公式,积分中为了化掉二次根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定(如整个根式代换等),【说明】,【例13】求,（三角代换很繁琐）,令,【解】,整个根式代换,【例14】求,【解】,令,整个根式代换,【解】,【例15】求,令,设m、n分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当nm 0时，用倒代换可望成功.,【解】,（分母的阶较高）,【例16】求,【解】,令,（分母的阶较高）,(4) 【指数代换】:,适用于被积函数f (x)由ax 所构成的代数式.,5. 【基本积分表 】,三、小结,一、两类积分换元法：,：凑微分.,：根式代换、三角代换（双曲代换） 倒代换、指数代换.,二、基本积分表,【思考题】,求积分,【思考题解答】,