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1、,第二章 光波的数学表述 及叠加原理,2.1 光波及其数学表述，单色平面波,一、简谐波(simple harmonic waves)的表达式, 为波动的波长，即具有同一振动相位的空间两相邻点之间的距离。,即2长度内所含的 波长数目。,为频率，即单位时间内振动的次数。,角频率,波动的传播速度,角波数,初相位为、周期为T、波长为的简谐波,对于机械波， y 表示位移；对于电磁波， y表示电场强度 E 或磁感应强度B；它们都随时间和空间连续地作周期性变化，波的强度正比于A2。,真空中的Maxwell方程组：,对于E，微分方程为,二、光波的数学表述 单色平面波,设波长为，传播方向为 z，则上式的解为：,
2、定义一矢量 k，其大小等于k，方向为波的传播方向，则可推广到任意方向传播的波。,是空间任一点的位置矢量,“单色”指波只有单一频率；“平面”指在 kr = 常量的空间各点所组成的平面上的相位都相等，即等相面（波面）为一平面,2. 相位差与距离之间的关系为,1. 单色平面波,在空间某点 r 处，随着时间的推移，振动的相位将发生变化；在某一时刻 t，在传播方向上的不同点之间也存在着相位的差异。这是由于两点的距离所引起的相位差。,单色平面波,3. 用指数复函数来表示简谐波：,复振幅(complex amplitude)：,相位因子：,用复函数表示波动，在运算中带来方便，只有复函数中E的实数部分才代表真
3、正的物理量。,代入,将,麦克斯韦方程组：,可得：,代入,可得：,k方向上的单位矢量,E、B、k 这三矢量相互垂直，构成右手螺旋定则，E = c B。 E和B都与传播方向 k 垂直，故光波是横波。,这是一个沿 z 轴传播的单色平面波，电矢量 E在平面 xoz 内振荡，而磁矢量 B则在平面 yoz 内振荡。光矢量E不是对称分布而是有一定取向，这种具有偏向性的振动状态为偏振。,偏振面为oxz平面的偏振光,沿 z 轴传播的单色平面波的简谐波动形式：,2.2 球面波及高斯波,单色平面波并不是Maxwell方程组唯一的解，一些在光学中经常遇到的波如：球面波和高斯波也是它的解。,一、球面波与高斯波的产生及特
4、点,球面波 1. 产生：从点光源发出的传播到不太远距离处的光波 2. 特点：等相位面和等振幅面都为球面,高斯波 1. 产生：从激光器发出的光波（激光） 2. 特点：等相位面上的光强（振幅）呈高斯函数分布,可得,一、球面波,球面波采用球面坐标系。把球心取作坐标系的原点，则 k 与 r 的方向永远相同，E的大小只与半径 r及时间 t 有关，所以可写成 E = E（r，t），把它代入,该方程的解为,式中A是一个常数,讨论：1、,常数的面是等振幅面，对于单色,光，它同时也是等相面，都是球面,2、 球面波的振幅与传播距离 r 成反比， 即光强与距离平方 r2 成反比。,直角坐标系中的球面波,在oxy平面
5、上的某点 P（x，y）受到的该球面波的扰动所具有的复振幅为,由于,所以,U(0)为波源发出的球面波传到坐标原点处的复振幅,讨论： 1.在一定的近似条件下，球面波可以在直角坐标系中描述 2.xoy平面并不是球面波的波面，不是等相位面和等振幅面 3.但当R足够大的情况下，xoy平面可近似认为是等振幅面,斜入射波的表述,若令平面波面法线方向的单位矢量为,1、斜入射的平面波的表达式为,U(0,0)为入射的平面波到达坐标原点时的复振幅，其指数项是由于斜入射而引入的相位值。,2、斜入射的球面波的表达式为,式中包含了斜入射及球面波这两种形式所带来的结果。,其中,高斯光束包括了平面波因子 球面波因子 和二维高
6、斯函数,激光光波的波面（等相位面）是球面，但其球面半径 R 随距离 z 而变；当 z = 0 或 时， R都为无穷大，即为平面波。,三、高斯波,激光光波波面上的光场分布是高斯分布。其场强在中心（x=y=0）处最大，为（W0/W）。随着 x、y 增大，场强减小。当 x2+ y2= W2 时，场强降低到中心处的1/e， W为光束的宽度。激光束的宽度在 z=0 时最小， W0为光束的腰。,由于在腰处的光束最小，故离腰较远处的光波可看作是以腰为球心的球面波。,高斯光束的发散角,2.3 光在均匀介质中的传播,一、光在介质中的传播,1、在介质中麦克斯韦方程组,jc为传导电流密度矢量，为自由电荷密度 介质中
7、的电磁性质由电位移矢量 D 和磁场强度矢量 H 来描述。,2、物态方程,r为该介质的相对介电常数，r为相对磁导率，jc 与介质的固有物性相关。对于透明介质材料， jc = 0 并可取= 0，对于非铁磁性介质， r 1。,3、波动方程 ( wave equation ),透明介质,真空,4、在介质中的参量,光波的传播速度,光波的波长,光波的角波数,介质的折射率,在一般情况下，r1，r1，故n 1 即 V c ， 。,光的频率在任何介质中都不会改变的。 n = n () = n () 色散：介质的折射率 (refraction index) 随频率或波长而改变所产生的光学现象。,5、光程 ( op
8、tical path ),对比真空中和介质中的相位因子发现： n k r = k （nr），可知光波在折射率为 n的介质中传播时，由路程 r 引起的相位变化等效于在真空中路程 nr 引起的相位变化，即介质对于光波相位的影响可用 nr 代替 r 来表述。所以把 nr 称为光程。,定义为光程差，即折射率与路程差的乘积。 =ns。于是相位差为,在介质中，,变为,E 和H 的关系为,在真空中,在介质中,这是一个电场在oxz平面振动而磁场在oyz平面振动的电磁波。是一个在oxz平面偏振的平面偏振光。,当一束平面偏振光进入介质时，若n为常数，光波不改变偏振态。若介质折射率n与方向有关（各向异性介质），则偏
9、振态要发生变化。,2.4 光波的能量和动量,光强是和电磁场的能流有关的物理量。电磁波的能量守恒表现为单位时间内流出（入）闭合体积的电磁波能量等于单位时间内闭合体积内的能量减少（增多）,一、电磁波的能量,电场能量与磁场能量体密度分别为：,电磁场能量体密度为：,二、坡印廷矢量,它表示电磁场的能量的传播，即垂直通过单位面积的功率。其大小代表电磁波波强，这里指光强( intensity of light )。其方向为光能量传播的方向。,考虑到：,坡印廷矢量 ( poynting vector ),在各向同性介质中坡印廷矢量S的方向与光波矢量 k 的方向（相位传播方向）一致。但在各向异性介质中，二者的方
10、向不同。,坡印廷矢量的大小，即光在介质中传播的（瞬时光强）为,若用复指数形式表示：,若对光强取平均值,光强与光场的平方成正比。在同种介质中常简单地表述光强为,电磁场具有动量，光的动量很小，在一般描述光的宏观传播行为时是不作考虑的。动量密度为,若以光子的形式表示光强和动量,单光子：,光波的叠加及叠加原理,2 - 5 光波的叠加及叠加原理,一、波的叠加原理 (superposition principle of waves),波的独立性：有两列或两列以上的波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响。,波的叠加性: 当空间某处受到两个或两个以上光波同时
11、作用时，该处光振动的总振幅，应为各个光波对该处独立作用时的复振幅矢量的线性叠加。,总复振幅为：,总光强为：,二、四类波的叠加（几乎沿同一直线传播） 第一类：角频率相同，振动方向相同的简谐波的叠加。如：驻波（standing waves）、波的干涉和衍射。 第二类：角频率相同，两个振动方向相互垂直的简谐波的叠加（叠加后一般为椭圆偏振光）。 第三类：不同角频率，从而波矢 k 不同，振动方向相同的简谐波的叠加。如：波包、脉冲和光调制。 第四类：不同角频率，振动方向相互垂直的简谐波的叠加。（不讲，一般不涉及）,1、频率相同、振动方向相同的光波的叠加,(1)、干涉：如果两列或多列频率相同、振动方向相同的
12、光波在相遇处叠加，那么它们叠加后产生的合振动可能在有些地方加强，有些地方减弱，这种强度按空间周期性变化的现象称为干涉,(2)、例：两列光波的叠加,波动是振动在空间的传播复习简谐波振动的合成（电磁）,相干叠加：,=常数，则：,a) 相位相同 b)相位相反: c)振幅相同，相位任意（ ）,非相干叠加： 多个叠加 : 上述分析对光振动在空间任意一点的叠加也是适用的。,(1)、 两个初相位相等，频率为的单色光，一个振 动方向平行于 x 轴，一个平行于 y 轴,2、频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加,两个振动方向相互垂直、初相位相等的平面偏振光的叠加,两个在正交方向上振荡并具有等初相位的线偏振光，可
13、合成一个线偏振光。,振幅的大小：,振动的方向与 x 轴的夹角：,(2)、 两个振动初相位不等，频率为的单色光的叠加,两个振动方向相互垂直、初相位不等的平面偏振光的叠加,合成的电场强度 E 矢量的端点之轨迹为沿 z 轴方向行进的椭圆螺旋线。此轨迹在oxy 平面上的投影为一个椭圆。这种偏振光为椭圆偏振光（elliptically polarized light ）,椭圆偏振光,（a）左旋椭圆偏振光,（b）右旋椭圆偏振光,圆偏振光：,线偏振光：,m为正整数,左旋偏振光：当迎着光波的传播方向观察时，光矢量的端点沿顺时针方向旋转。反之为右旋偏振光。,左旋偏振光,右旋偏振光,各种相位差情况下的椭圆偏振光,
14、光的偏振态可分为三类，七种：自然光（一种）、完全偏振光（三种）、部分偏振光（三种）,自然光与完全偏振光的叠加为部分偏振光。 自然光与线偏振光的叠加为部分线偏振光。 自然光与椭圆偏振光的叠加为部分椭圆偏振光。 自然光与圆偏振光的 叠加为部分圆偏振光。,三种完全偏振态的光：椭圆偏振光、线偏振光、圆偏振光。后两种是第一种的特例。椭圆的离心率最小时为直线，最大时为圆。,线偏振光的表示法：,光矢量在屏平面内,光矢量与屏平面垂直,光矢量与屏平面斜交,自然光的表示法：,部分偏振光：,如果将自然光中的两个垂直分量中的其 中一个分量部分地削弱，所得的光线称为部 分偏振光。,部分偏振光表示法：,偏振片：有些薄膜材
15、料能吸收某一方向 的光振动，而只让与这个方向垂直的光振动 通过，这个方向称为偏振化方向。称这些薄 膜为偏振片。,自然光通过偏 振片后变为线偏振 光，称为起偏。,偏振片又可用 来检验光线的偏振 化程度，称为检偏。,起偏与检偏,3、不同频率的光波的叠加,任何一个时间上有限的波列都可分解为一系列频率不同的单色平面波的叠加。,根据傅里叶分析，任何一个周期性函数都可用一些正弦或余弦函数的总和来替代。令周期函数为,则 F（t）按傅里叶级数展开为,(1)、周期函数的傅里叶展开,傅里叶级数各项的系数由下列各式决定,频率为 的矩形波的傅里叶展开,组成频率为的矩形波的各种正弦波叠加示意图,一个矩形波可认为是由频率
16、为的奇数倍的许多正弦波叠加而成的。,(2)、任意有限函数的傅里叶展开,把傅里叶级数扩展到傅里叶积分,一个任意的波 F（t）可由频率连续变化的单色平面波叠加而成，每一个单色波的振幅 f（）可由上式求出。,时间函数 F（t）与频率函数 f（）的对应与相互变换是光学中极为重要的一种处理问题的技巧。式中参变量 t 与存在着对应的关系。函数 F（t） 和 f（）所代表的是同一物理实体，在不同的参变量区域进行描述。,每一个单色波的振幅,f 2（）代表各个单色平面波光强的相对比值,组成这一有限波列的各单色平面波的频率范围在之内，才有明显的贡献。,为真正的单色平面波,单色平面波的频率的单一性与作用时间的无限性
17、是等同的。,单色性越好的波，其波列的空间长度就越长,t 不是光的持续时间，在光的持续时间内一定包含了许多光波列。,把复杂的实际光波用单色平面波叠加的方式来描述具有一定的合理性。,一、光电效应,1、实验规律 （4 条）,2、爱因斯坦光子假说,3、爱因斯坦方程,小 结,二、康普顿效应,能量守恒,动量守恒,康普顿散射公式,三、电磁波与光波,1、电磁波波动方程的解,平面波,球面波,高斯波,2、光在介质中的传播,3、光波的能量、光强,若以光子的形式表示光强和动量,1、 振动方向相同的光波的叠加,相干叠加,非相干叠加,四、光波的叠加及叠加原理,2、 振动方向相互垂直的光波的叠加,椭圆偏振光,初相位相等,初相位不等,3、不同频率的光波的叠加,任意有限函数的傅里叶展开,波列的空间长度,光的偏振态： 自然光、完全偏振光、部分偏振光,