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1、【高考数学】高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理（共10页）高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线: 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系:若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P(x,y)在曲线C上f(x,y )=0;点P(x,y)不在曲线C上f(x,y),0000000000?0。 f(x,y),0100两条曲线的交点:若曲线
2、C，C的方程分别为f(x,y)=0,f(x,y)=0,则点P(x,y)是C，C的交点方程组有n,121200012f(x,y),0200个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆: 1、定义:点集,M,OM,=r,，其中定点O为圆心，定长r为半径. 2222、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r 222 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x+y=r DE2222(2)一般方程:?当D+E-4F,0时，一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半径是(,)2222DEDE-4F422
3、2222，D，E,F。配方，将方程x+y+Dx+Ey+F=0化为(x+)+(y+)= 2242DE22?当D+E-4F=0时，方程表示一个点(-,-); 2222?当D+E-4F,0时，方程不表示任何图形. (3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x,y)，则,MC,r点M在圆C内，,MC,=r点M在,0022圆C上，,MC,r点M在圆C内，其中,MC,=。 (x-a)，(y-b),004)直线和圆的位置关系:?直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交(有两个公共点;直线与圆相切有,一个公共点;直线与圆相离没有公共点。 ,Aa，Bb，C?直线和圆的位置
4、关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大d,22A，B小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义: 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e,0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0,e,1时，轨迹为椭圆;当e=1时，轨迹为抛物线;当e,1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线: 椭圆 双曲线 抛物线 ,F的距离之差的绝对1(到两定点F121(到两定点F,F的距离之和为12值为定值2a(02a|FF|
5、)的点的轨迹 与定点和直线的距离相等的点的12定义 迹 2(与定点和直线的距离之比为轨迹. 2(与定点和直线的距离之比为定值e定值e的点的轨迹.(0e1) +,MF,-,MF,. 点集:(M,MF点集:M,MF点集M, ,MF,=点M到直线l1212轨迹条件 =2a,F F,2a, =?2a,FF,2a. 的距离. 1222图形 方 2222标准xyxy2 y,2px(0) (a0,b0) ，,1,1a,b2222方程 abab 程 ,x,acosx,asec,2参数,x,2pt,y,bsiny,btan (t为参数) ,方程 y,2pt,(参数为离心角)(参数为离心角),范围 ?a,x,a，
6、?b,y,b |x| , a，y,R x,0 中心 原点O(0，0) 原点O(0，0) (a,0), (?a,0), (0,b) , 顶点 (a,0), (?a,0) (0,0) (0,?b) x轴，y轴; x轴，y轴; 对称轴 x轴 长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a, 虚轴长2b. p焦点 F(c,0), F(?c,0) F(c,0), F(?c,0) F(,0)121222pa2 x=-a x=?x=? 2c准 线 c准线垂直于实轴，且在两顶点的内准线与焦点位于顶点两侧，且到准线垂直于长轴，且在椭圆外. 侧. 顶点的距离相等.2222焦距 2c (c=) 2c (c=) a,ba，bcc
7、离心率 e=1 e,(0,e,1) e,(e,1) aa【备注1】双曲线: 222?等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. x,y,ay,xe,22222yyxx?共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与,2222abab22yx互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:. ,022ab2222yyyxxx?共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲,(,0),0,02222ababab22yx线方程可设为. ,(,0)22ab【备注2】抛物线: ppp22(1)抛物线=2px(p0)的焦点坐标是(,0
8、)，准线方程x=- ，开口向右;抛物线=-2px(p0)的焦点坐标是(-,0)，yy222ppp2准线方程x=，开口向左;抛物线=2py(p0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开口向上; x222pp2抛物线=-2py(p0)的焦点坐标是(0,-)，准线方程y=，开口向下. x22p22(2)抛物线=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离;抛物线=-2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的yyMF,x，02pMF,x距离 02pp2(3)设抛物线的标准方程为y=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为22p. 2(4)已知过
9、抛物线=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长y22ppp2AB,=+p或(为直线AB的倾斜角)，(叫做焦半径). ABx，xyy,pAFxx,AF,x，12121122sin,42五、坐标的变换: (1)坐标变换:在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. (2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。 (3)坐标轴的平移公式
10、:设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x Oy中的坐标是.(x,y)x,x,hx,x，h设新坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 或 y,y，ky,y,k叫做平移(或移轴)公式. (4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表: 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 222x=h (x-h)(y-k)a(?c+h,k) +=1 x=?+h 22y=k cab椭圆 222x=h (x-h)(y-k)a(h,?c+k) + =1 y=?+k 22y=k cba222x=h (x-h)(y-k)a(?c+h,k) -=1 x=?+k 22y=k cab
11、双曲线 222x=h (y-k)(x-h)a(h,?c+h) -=1 y=?+k 22y=k cabpp2(y-k)=2p(x-h) y=k (+h,k) x=-+h 22pp2(y-k)=-2p(x-h) y=k (-+h,k) x=+h 22抛物线 pp2(x-h)=2p(y-k) x=h (h, +k) y=-+k 22pp2(x-h)=-2p(y-k) (h,- +k) y=+k x=h 22六、椭圆的常用结论: 1. 点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的外角. 2. PT平分?PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
12、3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 22xxyyxy005. 若在椭圆上，则过P的椭圆的切线方程是. Pxy(,)，,1，,100002222abab22xxyyxy00P6. 若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是. Pxy(,)，,1，,1121200002222abab22xy7. 椭圆，,1 (a,b,0)的左右焦点分别为F，F，点P为椭圆上任意一点，,FPF,，则椭圆的焦点角形的面积1 21222ab,2为Sb,tan. ,FPF12222xy8. 椭圆(a,b,0)的焦半径公式,
13、( ,). ，,1|MFaex,，|MFaex,Fc(,0),Fc(,0)Mxy(,)1020120022ab9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF?NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点M，AP和AQ交于点N，则MF121221?NF. 2222bxxyb0的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。 11. AB是椭圆，,1(x,y)Kkk,00ABOMAB2222abaay02222xxyyxyxy000012. 若在椭圆
14、内，则被Po所平分的中点弦的方程是; Pxy(,)，,1，,，000222222ababab【推论】: 222222xxyyxyxyxy001、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是。椭圆(a,bPxy(,)，,1，,1，,，00022222222abababab22xyo)的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于PP时AP与AP交点的轨迹方程是. ,Aa(,0),Aa(,0),11、211221222ab22xy2、过椭圆 (a,0, b,0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且，,1Axy(,)0022ab2bx0(常数). k,BC2ay022xy3
15、、若P为椭圆(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F, F是焦点, , ，则，,1，,PFF,，,PFF,1 2122122abac,. tantco,ac22，22xy4、设椭圆(a,b,0)的两个焦点为F、F,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在?PFF中，记, ，,1，,FPF,12121222absin,c,，则有. ，,PFF,，,FFP,e1212，sinsina,22xy5、若椭圆(a,b,0)的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当0,e?时，可在椭圆上求一点P，使，,121,1222ab得PF是P到对应准线距离d与PF的比例中项. 1222xy6、P为椭圆(a,b,0)上
16、任一点,F,F为二焦点，A为椭圆内一定点，则,，,12|2|aAFPAPFaAF,，,，1221122ab当且仅当三点共线时，等号成立. AFP,222()()xxyy,22222007、椭圆与直线AxByC，,0有公共点的充要条件是AaBbAxByC，,，(). ，,10022ab221111xy8、已知椭圆，,1(a,b,0)，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ,.(1);，,，222222ab|OPOQab22224abab22S(2)|OP|+|OQ|的最大值为;(3)的最小值是. ,OPQ2222ab，ab，22xy|PFe9、过椭圆(a,b,0)的右焦点F作直线交该椭圆
17、右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则. ,，,122|2MNab22xy10、已知椭圆( a,b,0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则，,1Px(,0)022ab2222abab,. ,x0aa22xy11、设P点是椭圆( a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点记，则，,1，,FPF,121222ab22b,2(1).(2) . ,Sb,tan|PFPF,PFF1212,，21cos22xy12、设A、B是椭圆( a,b,0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，,1，,PBA,，,BPA,，,PAB,22ab2222|cos|a
18、b,2ab2c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1),.(2) .(3) . ,tantan1,e|PAScot,PAB22222,accosba,22xy13、已知椭圆( a,b,0)的右准线与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点在，,1lC22ab右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. lBCx,14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半
19、径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论: 1、点P处的切线PT平分?PFF在点P处的内角. 122、PT平分?PFF在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 123、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 、以焦点半径PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支) 4122xxyyxy005、若在双曲线
20、(a,0,b,0)上，则过P的双曲线的切线方程是. Pxy(,),1,100002222abab22xy6、若在双曲线(a,0,b,0)外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方Pxy(,),1121200022abxxyy00程是. ,122ab22xy7、双曲线(a,0,b,o)的左右焦点分别为F，F，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形,1，,FPF,1 21222ab,2的面积为Sbco,t. ,FPF12222xy8、双曲线(a,0,b,o)的焦半径公式:( , )当在右支上时，,1Fc(,0),Fc(,0)Mxy(,)120022ab,;当在左支上时，
21、,。 |MFexa,，|MFexa,Mxy(,)|MFexa,，|MFexa,10200010209、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF?NF. 10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点M，AP和AQ交于点N，121221则MF?NF. 222bxxy011、AB是双曲线(a,0,b,0)的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即,1(x,y)KK,00OMAB222abay02bx0。 K,AB2ay02222xxyyxyxy
22、000012、若在双曲线(a,0,b,0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是. Pxy(,),1,000222222ababab2222xxyyxyxy0013、若在双曲线(a,0,b,0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. Pxy(,),1,000222222ababab【推论】: 22xy1、双曲线(a,0,b,0)的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于PP时AP与AP交,1Aa(,0),Aa(,0)1、211221222ab22xy点的轨迹方程是. ，,122ab22xy2、过双曲线(a,0,b,o)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定,1Axy(,
23、)0022ab2bx0向且(常数). k,BC2ay022xy3、若P为双曲线(a,0,b,0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F, F是焦点, , ，,1，,PFF,，,PFF,1 2122122abcaca,则(或). tantcotantco,ca22ca22，22xy4、设双曲线(a,0,b,0)的两个焦点为F、F,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在?PFF中，记, ,1，,FPF,12121222absin,c,，则有. ，,PFF,，,FFP,e1212,(sinsin)a,22xy5、若双曲线(a,0,b,0)的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当1,e?时，可在双曲线
24、上求一点,121，1222abP，使得PF是P到对应准线距离d与PF的比例中项. 1222xy6、P为双曲线,1(a,0,b,0)上任一点,F,F为二焦点，A为双曲线内一定点，则|2|AFaPAPF,，,当122122ab且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立. PAF,AFP,2222xy222227、双曲线(a,0,b,0)与直线有公共点的充要条件是. ,1AxByC，,0AaBbC,22ab22xy8、已知双曲线(b,a ,0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且. OPOQ,122ab222211114abab22(1);(2)|OP|+|OQ|的最小值为;(3)的最小值是.
25、S，,OPQ22222222ba,ba,|OPOQab22xy9、过双曲线(a,0,b,0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则,122ab|PFe. ,|2MN22xy10、已知双曲线(a,0,b,0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则,1Px(,0)022ab2222ab，ab，或. x,x,00aa22xy11、设P点是双曲线(a,0,b,0)上异于实轴端点的任一点,F、F为其焦点记，则,1，,FPF,121222ab22b,2(1).(2) . ,Sb,cot|PFPF,PFF1212,21cos22xy12、设
26、A、B是双曲线(a,0,b,0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，,PBA,，,BPA,1，,PAB,22ab22|cos|ab,c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1),. |PA222,|s|acco,222ab2(2) .(3) . ,tantan1,eScot,PAB22，ba22xyEF13、已知双曲线(a,0,b,0)的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,1l22ab点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. ClBCx,14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27、15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论: 2ac,bb42?顶点. ,ay，by，c,x()aa4222PP?则焦点半径;则焦点半径为. y,2px(p,0)x,2py(p,0)PF,x，PF,y，22?
28、通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. 2,x2pt,x,2pt22?(或)的参数方程为(或)(为参数). y,2pxx,2pyt,2y,2pty,2pt,2222 y,2pxy,2pxx,2pyx,2py?yy?yyx图形 xxxOOOOpppp 焦点 F(,0)F(,0)F(0,)F(0,)2222pppp准线 x, y,x,y,2222x,0,y,Rx,0,y,Rx,R,y,0x,R,y,0范围 轴 y轴 x对称轴 顶点 (0,0) e,1离心率 pppp PF,，xPF,，xPF,，yPF,，y焦点 11112222圆锥曲线的性质对比 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 (x2
29、/a2)+(y2/b2)=1 ab0 (x2/a2)-(y2/b2)=1 a0,b0 y2=2px p0 范围 x?-a,a y?-b,b x?(-?,-a?a,+?) y?R x?0,+?) y?R 对称性 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴对称 顶点 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点 (c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0) 【其中c2=a2-b2】 【其中c2=a2+b2】 准线 x=?(a2)/c x=?(a2)/c x=-p/2 y=?(b/a)x 离心率 e=c/a,e
30、?(0,1) e=c/a,e?(1,+?) e=1 焦半径 ?PF1?=a+ex ?PF2?=a-ex ?PF1?=?ex+a?PF2?=?ex-a?PF?=x+p/2 ? 焦准距 p=(b2)/c p=(b2)/c p 通径 (2b2)/a (2b2)/a 2p 参数方程 x=a?cos y=b?sin，为参x=a?sec x=2pt2 y=2pt,t数 为参数 y=b?tan,为参数 过圆锥曲(x0?x/a2)+(y0?y/b2)=1 (x0x/a2)-(y0?y/b2)=1 y0?y=p(x+x0) 线上一点 (x0,y0)的方程 为k的切y=kx?(a2)?(k2)+b2 y=kx?(
31、a2)?(k2)-b2 y=kx+p/2k 线方程 条件概率练习题 姓名 311(已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)=( ) 1051323A( B. C( D. 223502、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。2(由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=( ) 9、向40分钟要质量，提高课堂效率。1111A. B. C. D. 2348
32、2、第四单元“有趣的图形”。学生将经历从上学期立体图形到现在平面图形的过程，认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，七巧板是孩子喜欢的拼图，用它可以拼出很多的图形，让孩子们自己动手拼，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。4213(某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在151510下雨天里，刮风的概率为( ) （7）二次函数的性质：8331A. B. C. D. 222584二次方程的两个实数根4(设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动
33、物，问它能活到25岁以上的概率是 . ,(一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则 (1)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率, (2)先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率, 13,(某种元件用满6000小时未坏的概率是，用满10000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过426000小时未坏，求它能用到10000小时的概率 (2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.7(某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表 3. 圆的对称性:(1)求这个
34、代表恰好在第一小组内的概率 (2)求这个代表恰好是团员代表的概率 10.三角函数的应用(3)求这个代表恰好是第一小组内团员的概率 (4)现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率 8(市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70,，乙厂占30,，甲厂产品合格率是95,，乙厂合格率是80,，则(1)市场上灯泡的合格率是多少, (2)市场上合格品中甲厂占百分之几,(保留两位有效数字) (3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）9(一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率,(每个小孩是男孩和女(4)面积公式:(hc为C边上的高);孩的概率相等) 10(在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少,