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1、,第九讲：曲线与曲面,内容提要,曲线 曲线的DDA算法 Bzier曲线 N次Bzier曲线 Bzier曲线矩阵表示 Bzier曲线性质 例子 B_Spline曲线 曲面 Bzier曲面,曲线的概念,自由曲线：工程上除了常用到规则曲线外，还往往需要根据一组离散的数据点(型值点)来构造一条光滑的曲线。这类曲线包括平面不规则曲线和空间曲线。 曲线的拟合：完全通过或者比较贴近给定型值点来构造曲线的方法。 曲线的插值：求曲线上在给定型值点之间的点。,曲线的DDA算法,假设想画一条曲线方程为f(x)的曲线。对于曲线DDA算法来说, 有了自变量x的增量x, 可写出其因变量的增量y： y=f(x)x 于是通过
2、这个数字微分分析器算法, 用户便可以按步长逐点画出这条曲线。 DDA算法是一种曲线拟合算法,曲线的内插法,曲线的DDA算法的缺点：确定曲线方程以及一阶导函数，对于不规则的曲线的构造会比较困难。 内插法：使用一组采样点, 就可以近似地画出没有数学解析式子的曲线。 根据采样点能猜测曲线的走向, 如果采样点较密, 可做出较好的猜测。一般来说, 未知曲线在小范围内和邻近曲线变化趋势非常相似, 且共用一些采样点, 因此可以用小的直线段, 将已知曲线延伸, 并和其余的采样点连接起来。,Bzier曲线 (法国工程师： Pierre Bzier）,设定两点P0、P1，用拟合式子表示直线P0P1. L0(t)=
3、(1-t)P0+tP1 t0,1 称为：一次Bzier曲线 设定三点P0、P1 、P，同理可得： L(t)=(1-t)P1+tP2 t0,1 再在L0， L基础上采用上述拟合式子可得： L0（t) L0 +t L1 t0,1 称为：二次Bzier曲线 设定四点P0、P1、P、P ，同理可得： L(t)=(1-t)P2+tP3 t0,1 L01= (1-t)L0+tL1 L12= (1-t)L1+tL2 L012= (1-t)L01+TL12 称为：三次Bzier曲线。,P0,P1,P2,L0,L1,P0,P1,P2,P3,L0,L1,L2,L01,L12,L012,P0,P1,L0,N次Bzi
4、er曲线,n次Bzier曲线表示如下: Ln(t)= PiC ti(1-t)n-i = PiBi,n(t) t0,1 其中： Bi,n(t) i=0,1,n,Bzier曲线矩阵表示,当n=1时，L1(t) t0,1 一次Bzier曲线 当n=时， L01 (t) t0,1 此式说明二次Bzier曲线对应一条起点在P0，终点在P2处的抛物线。 当n=时，L012 (t) t0,1 三次Bzier曲线,Bzier曲线性质,端点的位置：L(0)= P0, L(1)= Pn 端点的切线：L(t)在P0点与P0 P线段相切，在Pn点与Pn-1 Pn线段相切。 曲率：端点处的r阶导数只与（r+1）个相邻点
5、有关，于更远的点无关。 凸包性：指Bzier曲线上各点均落在控制点连成的折线包之内。 几何不变性：在不同坐标系下表示的曲线形状不变，与仿射坐标系的选择无关，仅与控制点位置有关。 交互能力：控制点P0 P Pn大致地勾画出Bzier曲线L(t)的形状，要改变L(t),只需改变Pi的位置。,有三个、四个、五个控制点生成的二维Bzier 曲线的例子，虚线连接了控制点位置。,几个控制点生成的二维Bzier 曲线的例子,第一个和最后一个控制点重合。,由两个Bzier曲线段形式的分段逼近曲线，让P0=P2，使P1，P2，P1共线，可得到两曲线段间的0阶和一阶连续。,多个控制点具有相同的坐标位置，曲线更靠近
6、该位置。,几种特殊情况,B-样条函数,n为采样点个数-1，t(0,1),3,三次B样条使用步骤,三次B样条的几点提示,B-样条函数矩阵表示,利用（1）和采样点x(t0) x(tn), y(t0) y(tn),以及一阶导数（端点处）可得出求系数ai 、bi 的线性方程组（可用主元消去法解方程组）,未知,已知,=,当求出ai 、bi后再带入（1）中计算x和y值。 此时，根据光滑度的需要重新确定n值大小。,表示的曲线,-2 -1 0 1 2 0 1/6 2/3 1/6 0 0 1/2 0 -1/2 0,设t0=0, t=1/n，那么t1=1/n， tn=1， ti =i t 其中：x(t0) = x
7、 / t= n(x1- x0) x(tn) = x / t= n(xn- xn-1) y(t0) = y / t= n(y1- y0) y(tn) = y/ t= n(yn- yn-1) 例子：x0= 0, x1= -50, x2= 0, n=2, t=1/2，t0=0, t1=1/2, t2=1 y0= 0, y1= 100, y2=200, 三个采样点为：（0,0），(-50,100)，(0,200) x0=n(x1- x0)=2(-50-0)=-100 x2=2(x2- x1)=2(0+50)=100 y0=n(y1- y0)=2(100-0)=200 y2=2(y2- y1)=2(20
8、0-100)=200,求解方程组,Bzier曲面,Bezier曲面是Bezier曲线的推广。 这里我们仅讨论双三次Bzier曲面，它是通过给定的44个空间网格点来控制的，如右图所示。 和Bezier曲线类似，这十六个控制点决定了Bezier曲面的形状。我们把这16个控制点写成矩阵的形式如(1)所示： Bezier曲面的B矩阵中的周围十二个信息（位置向量）定义了四条三次Bezier曲线，这四条曲线就是曲面的边界曲线； 而角点P00、P30、P03、P33与邻近的点分别定义了四条边界曲线在角点处的八个切向量；中间四个信息P11、P12、P21、P22则决定了曲面的凹凸。,P00 P01 P02 P
9、03 P10 P11 P12 P13 P20 P21 P22 P23 P30 P31 P32 P33,B=,(1),Bezier曲面和控制点。,Bezier曲面的表达式,即 S(u,w) = U.N.B.NT.WT (0u1,0w1) 式中： U = u3 u2 u 1,P00 P01 P02 P03 P10 P11 P12 P13 P20 P21 P22 P23 P30 P31 P32 P33,B=,-1 3 -3 1 3 -6 3 0 -3 3 0 0 1 0 0 0,N = = NT,w3 w2 w 1,WT =,Bezier曲面和控制点,Bezier曲面的分量表达式,若写成x,y,z三个方向分量的形式， 则Bezier曲面可以表示为： x(u,w)=U.N.Bx.NT.WT y(u,w)=U.N.By.NT.WT z(u,w)=U.N.Bz.NT.WT (0u1,0w1),Bezier曲面和控制点,感谢支持,