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1、高等数学,重庆交通学院,（ 上册 ）,冯春,目 录,第一章 函数 与 极限,第二章 导数 与 微分,第三章 中值定理 与 导数应用,第四章 不定积分,第五章 定积分,第六章 定积分的应用,一、极限,1、定义 Xn=f(n),2、 xn |xn-a| (为任意小),定义： if对于0,E N0, st当nN时,有|Xn-a|成立 则称a是xn 当n时的极限,记为,说明:(1)先确定,再找N (2)| xn a| 几何意义: a-xn +a xn + (a,) 其中n=N+1,N+2 ,第一章 函数与极限,(3)应用 证明极限,例一. 证明,对0,要使| 取N= so对0找到N= st当nN时,|
2、 xn a|,例二.证明 (放缩法的运用),证明 对 0,要使| |,即 ,n -1 N= -1,对 0, st nN时, | xn a|,证明 : 对 0,要使 sin -0|,即 sin ,n( )2 取N=( )2 ,对 0, ( )2 st | sin -0|,3.函数收敛数列的性质,if so. xn 收敛 否则:发散,证明 : sin =0,1、极限的唯一性 ,2、极限的收敛性,(二)函数的极限,1.定义 (1) (x) xxo 0|x-xo|,(2) (x) x x0 |x|x,a.x+ xX,b.x- -xX x-X,(x)a, 0|(x)-a|,（1）、-x定义:,if对0,
3、 x0,st当|x|x时,有|(x)-a| so称a为(x)当x时的极限 先有,再找x,5,（2）、-定义,if对 0, st当0|x-xo| 时,有|(x)-a|成立,则称a是(x)当xxo 的极限,记为 (x)=a,证明 =0,对 0,要使 =0,| -0|= ,|x| ,取 x =,对 ,找到x= ,当xX时,有函数| -0|,证明 =1,对 0,要使 =1, | -1|=, +1,取x= +1, 对 找到x= +1,当xX时,有函数| -1|=,证明 = 4,证 明 对 0要使| - 4 | = |x-2| ,取= 0|x-2|,有|(x)-4|,证明,sin x = sin xo,证
4、明: 对 0要使|sinx-sinxo |=2|sin cos |,2|sin cos |2|sin |,当 x 很 小 时,|sinx| |x|,2|sin |2 | = |x-x0|,取 =,0|x-x0|,有|sinx-sinxo |,总结:,-N: nN N= nN,-X: |x|X X= |x|X,- : 0|x,2.证明极限的性质,(1)保号性-用于证明题,x ( , ) , (x)与极限值同号,3. (x) 的存在性 左右极限存在并相等,当xxo时,x ,极限 (x)= -(xo-0) 左极限,当xxo时,x ,极限 (x)= -(xo+0) 左极限,应用-主要用于分段函数 分段
5、点处求极限,设 讨论 (x)的存在性,(x)= x2-1=-1 x0 但 x 0,(x)= x2+1=1,不能认为x2+1=1,左右极限不相等,x0时函数极限不存在,设(x)=,求 (x)及 (x),(x)= x3=0,(x)= x=0,(x)=0,(x)= x=1,(x)= x=0,(x)不存在,设(x)= 求 (x),此时不须要考虑左右极限,(x)= =1,4.无穷大与无穷小,(一) 无穷小:,if lim (x)=0,so称为当xxo()时的无穷小,注意(1)区别,极限为0的时候称为无穷小,很小（常数极限 0不是无穷小,无穷小,但可认为0为无穷小）,(2) =0,是x时的无穷小,=1,
6、但 并不是无穷小,天穷小一定针对极限过程,6,(二)无穷大,if lim (x)=,so (x)称为xxo()时的无穷大,极限为无穷大的函数称为无穷大,注意: = ,是x1时的无穷大,=-1,无穷大一定针对极限过程,(三) 无穷大与无穷小的关系,在同一极限过程中,无穷小和无穷大互为倒数,(四)用- ,-X写出无穷小(大)的定义,写出 (x) = 0,对 0 0 ,st当0|x- xo| 时,有| (x)-0|,写出 (x)=0,对 0 x0 ,st当|x|X时,| (x)-x|,写出 (x)=,对 0 x0 ,st当|x|X时,| (x)-x|M,二.求极限方法,1.四则运算 设lim (x)
7、=A lim g(x)=B,lim(x)+ g(x)=lim (x)+- lim g(x),lim(x). g(x)= lim (x). lim g(x),lim = (其中B0),四则运算需在极限存在的条件下,注意: sinx 当x时, sinx,= 分母不为0,2.利用无穷小与无穷大的关系,例: = =0,原式 =,7,3.无穷小乘以有界函数仍然是无穷小,sinx=0 ( =0, |sinx| 1有界),=0 ( =0, |arctgx| 有界),4.去零因子法., 其中x-1称为极限的零因子,= =,= x+1=2,5. 求分式函数当x0时的极限,(分子分母东除x的最高次方),当m=n时
8、, (x)=,当mn时, (x)= 0,当mn时, (x)=,6.根式有理化,(分子分母乘现在根式的共轭根式),( - ) = =,8,一.两个重要极限 (主要做为公式计算极限),公式1. =1,(1)结构: x可是关于x的表达式,且两个x必须相同,(2)过程:必须保证x0 极限为1,例如: i) =1,ii) =1,iii) = 5,由公式 (1) = 1,(3) =1,(4) = -2sin2x.sin(-x),=2sin2x.sinx=4cos x=4,0,公式2. (1+ )x = e,(1+x)1/x = e,i) 结构 型,ii) 关于x的表达式 2个必须一模一样,iii) 极限过
9、程可以变,但必须是型,且x一模一样,如:1) 1+(x-1)1/(x-1) =1,2) (1+ )x = = e1/2,3) (1+ )x = = e2,4) (1+ )x = e2,5) (1- )x=1+( )-x.-1=e-1,6) (1+ )2x=1+ =e8,例:(1) (1-cosx)3secx = (1-cosx) = e-3,(2) (a0),解:原式中:令x-a=t,即,= = ln,=,(x)= (x),(3) xln(x+1)-lnx,=,= loge(1+ )x,=1,(4) ( )x,=,= =,二.极限存在准则-夹逼定理,设(x),g(x),h(x) if i)g(
10、x)(x)h(x),ii)limg(x)=lim h(x)=A lim(x)=A,准则(2)-单调有界数列必有极限(证明),无穷小的比较,已知: lim=0,lim=0 求lim,(1) lim =0 称是比高阶的无穷小,(2) lim = 称是比低阶的无穷小,(3) lim =k 称与同阶无穷小 (k0,1),(4) lim =1 称与等价无穷小,例:当x0时,下列函数哪些是x的,高阶(2,3) ,同阶(1,6), 等阶(4,5),1. x4+sin2x =,2. 1-cos2x = = 2sinx,3. tg3x=tg2x. = tg2x=0,4. cos (1-x) ,5. xe2x l
11、im e2x=1,6. cscx-ctgx ,等价无穷小的应用 在求极限中进行等价无穷小替换,简化计算,替换公式:已知lim=lim=lim=lim=0, ,求lim = lim,注意:,(1) lim (),lim (),即在乘积因式替换,不能在和差的某一部分替换,(2) 记住常用等价无穷小,当x0时, sinxx, arcsinxx, tgxx,ln(1+x)x, 1-cosx ,ex-1x,例：利用等价无穷小替换计算下列极限,（1）,（2）,（3）,9,一、函数的连续,1. f(x)在x点处连续的定义：,If,2函数f（x）在（a，b）内连续即f（x）在,（a，b）内每一点都连续，任取一
12、点x验证,3f（x）在a，b内连续,a，b=（a，b）+,x = a 右连续,同理 x=b有左连续,例：证明y=sin x在（- ）内处处连续,证明：任取x sin x在x 有定义,又,例：证明有理整函数,证明：任取,例：讨论下列函数在指定点处的连续性,（1）f（x）,证明：,连续,（2）f（x）=,证明：f（x）=,无意义,为间断函数,二、间断点的判定以及分类,1定义： 对x 函数的三个连续条件中至少有,一个不满足，则x 为函数的间断点。,2分类：,例：（1） f（x）= ；x=0,（2）f（x）= ; x = 0,左 右 存在但不相等,x=0为第一类间断点（跳跃间断点）,（3）f（x）=
13、x=0,又,第二类：,（4）f（x）= tan x x =,x tan x,（5）f（x）=sin,x 时 极限不存在 函数无限接近2个常数,据其特性称为振荡间断点,（6）f（x）= x = 1,i) f（1）=,ii) x,iii）f（1）=,如果改变 f（x）= 则为连续函数,这种间断点称为可去间断点（只需重新定义函数值）,极限存在的间断点 ，能重新定义改变函数值使其等于极限值,(7) f（x）=,f（1）=2,f（x）,重新定义f（x）=,(8) 定义，使得 在 处,（无穷小有界函数=无穷小 ）,练习：,判定下列函数在指定间断点处的类型,（1） ， 第一类（可去）,（2） ， 第二类（无
14、穷）,（3） ，,（4） , 第一类（跳跃）,第一类（可去）,10,一、运算,1、四则运算：,间断连续=间断,连续连续=连续,间断间断=不一定间断,2、复合运算：,， 两连续函数的复合函数连续,（用于求极限）,例：（1）,（2）,（3）,即 时，,二、初等函数的连续性,1、结论初等函数在其定义区间连续,2、应用：（1）求极限,（前提为 时）,例：（i）,（ii）,（2）求连续区间 为初等函数，求其定义区间 为分段函数，要讨论分段点,例：（i） 的连续区间，,并求 ， ，和,解：连续区间D=,（ 在D内）,重新定义 ， 可变为连续函数,（ii）,解：当 时，D=,f（0）=0,1),2),函数为
15、连续函数。,11,一、性质,1. 最大最小值,2. 有界性,3. 介值定理,在 上连续， ，,对介于A，B之间的任一个数C，,至少存在一点 ，使得：,二、点定理,1、函数 ，方程,对方程而言， 为方程根 .,3),对函数而言， 为函数的零点。,2、条件：（1） 在 上连续,（2） 异号（ 0 ）,至少 一点 ，使得 ，,（即 是函数的零点）,3、应用证明方程根的问题,例1：求证方程 至少有一根且不超过1。,证明：令,在上为连续函数 （多项式函数在R内连续）,由零点定理得，,至少 一点 使得,例2：求证方程至少有一个小于1的正根。,证明：令 其中,连续， ，,由零点定理知，至少 一点 使得 。,第一章 小结,一、函数,基本初等函数初等函数、分段函数,二、极限,定义： N X ,计算方法：（8种）,三、连续,1、定义 2、间断点的分类 3、零点,对于数列 若,