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1、第十章 定积分的应用（二）,平面曲线的弧长与曲率,定积分在物理中的某些应用,如何应用定积分解决问题 ?,第一步 利用“分割（化整为零） , 代替（以曲代直或以常代变）” 求出局部量的近似值，即微分表达式,第二步 利用“ 求和（积零为整） , 取极限（无限累加） ” 求出整体量的精确值，即得积分表达式,这种分析方法成为微元法（又称元素法）,微元的几何形状常取为:,条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等,一、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. （见P247）,(证明略),则称,定义：
2、设平面曲线C由参数方程 （1） 给出。如果 与 在 上连续可微，且 与 不同时为零（即 ）， 则称C为一条光滑曲线。（当曲线上每一点都具有切线且切线随切点的移动而连续转动） 定理10.1 设曲线C由参数方程 (1) 给出。若C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(P249),(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分) :,(自己验证),例1. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线 .,求这一段弧长 .,解
3、:,下垂,悬链线方程为,例2. 求连续曲线段,解:,的弧长.,例3. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,例4. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长 .,解:,一、 变力沿直线所作的功,二、 液体的侧压力,三、引力问题,二、定积分在物理中的某些应用,四、惯性问题,一、 变力沿直线所作的功,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .,在其上所作的功微元,为,因此变力F(x) 在区间,上所作的功为,例1.,一个单,求电场力所作的功 .,解:,当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为,则功微元为,所求功为,说明:,位正电荷沿直
4、线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) ,在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下,例2.,体,求移动过程中气体压力所,解:,由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从,点 a 处移动到点 b 处 (如图),作的功 .,建立坐标系如图.,由波义耳马略特定律知压强,p 与体积 V 成反比 , 即,功微元为,故作用在活塞上的,所求功为,力为,在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气,例3.,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,解: 建立坐标系如图.,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外所作的功(功微元)为,故所求功为,设水的密度为,一蓄满水的圆柱形水桶高为
5、5 m, 底圆半径为3m,面积为 A 的平板,二、液体侧压力,设液体密度为 ,深为 h 处的压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,就涉及到侧压力问题.,所受侧压力问题就需用积分解决 .,整张平板所受的压力为 因为各点受力均等，所以平板一侧所受压力也为这个结果.,小窄条上各点的压强,例4., 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.,解: 建立坐标系如图.,所论半圆的,利用对称性 , 侧压力微元,端面所受侧压力为,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,三、 引力问题,质量分别为,的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :,大小:,方向:,沿两质点的连线,若考虑物体对质点
6、的引力, 则需用积分解决 .,例5.,设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.,解: 建立坐标系如图.,细棒上小段,对质点的引力大小为,故垂直分力元素为,在,试计算,利用对称性,棒对质点引力的水平分力,故棒对质点的引力大小为,棒对质点的引力的垂直分力为,说明:,2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处,1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为,方向与细棒垂直且指向细棒 .,移到 b (a b) 处时克服引力作的功,则有,引力大小为,注意正负号,3) 当质点位于棒的左端点垂线上时,例6. 设星形线,上每
7、一点处线密,度的大小等于该点到原点距离的立方,提示: 如图.,在点O 处有一单,位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.,同理,故星形线在第一象限的弧段对该质点的,引力大小为,四、转动惯量 (补充),质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为,的质点系,若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 .,关于轴 l 的转动惯量为,例7., 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ;, 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 .,解: 建立坐标系如图.,设圆盘面密度为 .,小圆环质量,对应于,的小圆环对轴 l 的转动惯量为,故圆盘对轴 l 的转动惯量为,设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘
8、,平行 y 轴的细条,关于 y 轴的转动惯量元素为,细条质量:,故圆盘对y 轴的转动惯量为, 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图.,内容小结,(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ,一般微元的几何形状有:,扇、片 等.,(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之.,1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:,2.定积分的物理应用:,变力作功 ,侧压力 ,引力, 转动惯量等。,条、段、环、带、,(99考研),思考与练习,提示: 作 x 轴如图.,1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每,在提升过程中污泥,以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉
9、,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m /s ,问,克服重力需作多少焦耳( J ) 功?,已知井深30 m ,抓斗自重400N ,将抓起污泥的抓斗由,抓起污,x 提升 dx 所作的功为,米重50N ,提升抓斗中的污泥:,井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms, 污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉,克服缆绳重:,抓斗升至 x 处所需时间 :,克服抓斗自重:,锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .,备用题,斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于,解: 选取坐标系如图.,设斜
10、边长为 l ,水中, 并使一直角边与水面相齐,则其方程为,问斜边与水面交成的,故得唯一驻点,故此唯一驻点,即为所求.,由实际意义可知最大值存在 ,即,习题课,1. 定积分的应用,几何方面 :,面积、,体积、,弧长、,表面积 .,物理方面 :,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2. 基本方法 :,微元分析法,微元形状 :,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等.,转动惯量 .,定积分的应用,第六章,解：,1. 求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其它.,又,故在区域,2. 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,分析曲线特点,3.,解:,与 x 轴所围面
11、积,由图形的对称性 ,也合于所求., 为何值才能使,与 x 轴围成的面积等,故,4. 求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解: 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所指面积,且为最小点 .,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,5.,求曲线,图形的公共部分的面积 .,解：,与,所围成,得,所围区域的面积为,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 .,提示,选 x 为积分变量.,旋转体的体积为,6.,若选 y 为积分变量, 则,7. 设非负函数,曲线,与
12、直线,及坐标轴所围图形,(1) 求函数,(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解: (1),由方程得,面积为 2 ,体积最小 ?,即,故得,又,(2) 旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值 .,8.证明曲边扇形,绕极轴,证: 先求,上微曲边扇形,绕极轴旋转而成的体积,体积微元,故,旋转而成的体积为,故所求旋转体体积为,9. 求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积.,解: 曲线与直线的交点坐标为,曲线上任一点,到直线,的距离为,则,10. 半径为 R , 密度为,的球沉入深为H ( H 2 R ),的水池底, 水的密度,多少功 ?,解:,建立坐标系如图 .,
13、则对应,上球的薄片提到水面上的微功为,提出水面后的微功为,现将其从水池中取出, 需做,微元体积,所受重力,上升高度,因此微功元素为,球从水中提出所做的功为,“偶倍奇零”,11. 设有半径为 R 的半球形容器如图.,(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为,为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .,(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最,少应为多少 ?,解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.,则半圆方程为,设经过 t 秒容器内水深为h ,(1) 求,由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为,而高为 h 的球缺的体积为,半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成,体积元素:,故有,两边对 t 求导, 得,at (升) ,(2) 将满池水全部抽出所做的最少功,为将全部水提,对应于,微元体积:,微元的重力 :,薄层所需的功元素,故所求功为,到池沿高度所需的功.,说明:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,( P350 公式67 ),Have a nice weekend,See you on Monday,