工程矩阵理论东南周建华.ppt

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1、1,工 程,矩阵理论,2,教 材 工程矩阵理论，张明淳，东南大学出版社 参 考 书 高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等教育出版社 Matrix Analysis, R.A.Horn and C.R.Johnson, Cambridge University Press, 1985(中译本，杨奇译，天津大学出版社）,3,要 求,重点是基本理论，基本方法； 结合授课内容，熟悉课本； 通过例题，掌握相关概念和理论； 通过练习题，熟悉相关理论、方法； 及时复习、总结，巩固所学内容。,4,本课程大致内容,第0章 复习与引深 第1章 线性空间与线性变换 第2章 内积空间、等距变换 第3

2、章 矩阵的相似标准形 第4章 Hermite二次型 第5章 范数及矩阵函数 第6章 矩阵的广义逆,5,矩阵理论,6,第0章 复习与引深,矩阵运算 线性方程组 向量组的极大无关组及秩 矩阵的秩及等价标准形,7,矩阵的乘法中应注意的问题,1 存在非零零因子 例1,8,2 不可交换,9,由此导致的一些问题,乘法消去律不成立,一些代数恒等式对矩阵不再成立,10,例3,11,分块矩阵的乘法规则,设,在一定条件下，,也可以写成分块矩阵,将这两个矩阵分块：,其中，,12,条件：上式有意义,13,一些特殊的分块形式,1.,14,（接上页）,15,（接上页）,16,（接上页）,17,非齐次线性方程组,1.,线性

3、方程组,2.,3.,18,齐次线性方程组的基础解系,对于齐次线性方程组,1. 有非零解当且仅当,19,Gauss消元法,20,例5,21,简化阶梯形矩阵,22,例5,23,例6,24,例6,25,向量组的极大无关组及秩,26,例7,27,矩阵的秩,矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数 =A的行（列）向量组的秩,有关矩阵的秩的不等式：,28,例8,若A是可逆矩阵，证明r(AB)=r(B).,29,例9,设A是n阶幂等矩阵，证明：,30,矩阵的等价标准形,31,（满秩分解）,32,例11：,33,线性空间和线性变换,第一章,34,第一节 线性空间的定义,用F表示实数全体（R）或复数全体（C）.,35

4、,如果满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为是向量。,36,例1,37,例1（续）,38,线性空间的性质,39,第二节 基、维数和坐标,如：,在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。,40,一些重要结论,41,一些重要结论（续）,42,例1,43,定义（基，维数）,44,注：,45,例2,46,定理1,47,定义（坐标）：,48,例4,49,例5,50,注,2.基的几何意义,1.线性空间的基是有序的。,51,定理2,52,例6,53,例7,54,形式记号,55,形式记号,56,形式记号的性质,57,例8,58,定义(过渡矩

5、阵),59,过渡矩阵的性质,60,例9,61,定理3(坐标变换公式),62,例10,63,第三节 子空间, 交与和,64,定理1,65,两类重要的子空间,66,命题：,67,例1,68,例2,69,例3,70,例4,71,定理2,72,子空间的交与和,73,注：交与并的区别,74,定理4（维数定理）,75,例5,76,例6,77,例7,78,直和,79,定理5,80,例8,81,例9,82,多个子空间的直和,83,定理6,84,85,第四节 线性映射,86,87,定义：,88,例1,89,例1,90,例2,91,注,92,线性映射的性质：,93,例3,94,例4,95,线性变换的运算,它们都是

6、线性变换。,96,线性变换的运算的性质：,证明：,97,线性映射（变换）的矩阵：,98,例,99,例5,100,定理2,101,定理3,102,例6,103,定理4,其实，对线性映射的矩阵有类似的性质。,104,第五节 线性映射的值域及核子空间,105,值域的计算,106,核子空间的计算,107,定理2（线性变换的维数定理）,108,注：对无限维空间，推论不成立。（反例）,109,例1,110,定义（不变子空间）：,111,为何要讨论不变子空间？,112,为何要讨论不变子空间？,113,例2,114,线性空间的同构,115,116,117,118,第二章,内积空间、等距变换,119,第一节 基

7、本概念,本章的目的：将内积推广到抽象的线性空间 约定：数域F指实数域R或复数域C,120,例1,121,内积的性质,122,度量矩阵,123,向量的模（长度）,124,C-B不等式,125,三角不等式,126,正交性,127,标准正交基,128,标准正交基下的内积,129,Schmidt正交化方法,130,例2,131,例3,132,酉矩阵,133,定理1,134,Schmidt正交化方法的应用,135,注,136,矩阵的UT分解,137,例,138,定理2,139,第二节 正交补空间,140,正交补空间,141,正交补空间的计算,142,正交补空间的计算,143,例1,144,一个几何问题,

8、空间中点到直线的距离：,145,空间中向量到子空间的距离：,146,147,例2,148,例3,149,最小二乘解,150,第三节 等距变换,151,例1,152,定理1,153,关于直线的反射,154,欧氏空间中的反射,155,镜像变换,156,157,第三章,矩阵的相似标准形,158,矩阵与线性变换,本章的目的： 对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。 对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。,159,第一节 特征值与特征向量,160,矩阵的相似对角化,161,线性变换的特征值、特征向量,162,线性变换的可对角化问题,163,例1,164,线性变换的

9、特征值、特征向量的计算,165,例2,166,定理1,167,特征多项式的计算,168,主子式与子式,169,主子式与子式,170,特征多项式的计算,171,矩阵的迹,172,例3,173,化零多项式,174,第二节 Hamilton-Cayley定理,175,例1,176,例2,177,最小多项式,178,定理1,179,例1,180,例2,181,例3,182,第三节 可对角化的条件,目的： 对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵；,对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。,183,已知的判别方法,184,线性变换的可对角化问题,185,特征子空间,186

10、,可对角化的条件,187,例1,188,定理1,189,定理2,190,例2,191,定理3,192,例3,193,例4,194,第四节 Jordan标准形,问题： 如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，如何找一最简单的矩阵与之相似。 等价的问题： 若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。,195,Jordan形矩阵,196,例1,197,Jordan标准形的存在性、唯一性,198,唯一性的证明思路,199,定理1,200,例2,201,例3,202,例4,203,分块矩阵的最小多项式,204,Jordan标准形与最小多项式,205,例5,206,例

11、6,207,例7,208,例8,209,例9,210,存在性的证明思路,211,存在性的证明思路,212,存在性的证明思路,213,存在性的证明思路,214,存在性的证明思路,215,存在性的证明思路,216,存在性的证明思路,217,存在性的证明思路,218,存在性的证明思路,219,第五节 特征值的分布,220,定理1,221,例1,222,K-区,223,例2,224,定理2,225,例3,226,谱半径的估计,227,例4,228,例5,229,应 用,230,对角占优矩阵,231,对角占优矩阵,232,第四章,Hermite二次型,233,第一节 H阵、正规阵,Hermite二次型与

12、Hermite矩阵 标准形 惯性定理（唯一性） 正定性,234,Hermite矩阵、 Hermite二次型,235,Hermite矩阵、 Hermite二次型,236,实对称矩阵的性质,237,H阵的性质,238,正规阵,239,上三角的正规阵,定理：,240,定理,241,推 论,242,例1,243,例2,244,第二节 Hermite二次型,245,246,标准形,247,标准形,配方法（初等变换法） 酉变换法：,248,惯性定理,249,惯性定理,250,惯性定理,251,规范形,252,共轭合同的充分必要条件,253,例1,254,正定性,255,如何建立判别方法,256,定理,25

13、7,例2,258,例3,259,例4,260,其它有定性,261,如何建立判别方法,262,定理,263,例5,264,奇值分解,265,奇值分解定理的证明,266,奇值分解定理的证明,267,奇值分解定理的证明,268,奇值分解定理的证明,269,第三节 Rayleigh商,270,定理1,271,例,272,定理2,273,定理3（Courant极大极小原理）,274,第五章,范数和矩阵函数,275,本章的目的,矩阵函数 范数 矩阵函数的应用,276,第一节 范数的概念和例子,277,内积与范数,278,Cn中范数的例子,279,更多的例子,280,更多的例子,281,范数与极限,282,

14、范数的可比较性,283,第二节 矩阵范数,284,285,范数的相容性,286,定理1,287,算子范数,288,算子范数,289,定理2,290,定理3,291,例1,292,例2,293,例3,294,第三节 收敛定理,295,矩阵序列的收敛性,296,幂序列,297,谱半径与范数,298,矩阵幂级数,299,矩阵幂级数,300,第四节 矩阵函数,301,几个重要的矩阵函数,302,利用定义计算,303,例2,304,Jordan形矩阵的函数,305,Jordan形矩阵的函数,306,Jordan块的函数,307,Jordan块的函数,308,Jordan块的函数,309,例3,310,利

15、用Jordan标准形计算,311,例4,312,定理1,313,例5,314,待定系数法,315,例6,316,例7,317,矩阵函数的性质,318,例8,319,例9,320,注,321,第四节 线性微分方程组,322,性质,323,常系数线性微分方程,324,常系数线性微分方程组,325,326,定理,327,矩阵的广义逆,第六章,328,本章目的,将“逆矩阵”推广到一般情形 广义逆矩阵的计算 广义逆矩阵的性质 应用：不相容线性方程组的求解,329,第一节 广义逆矩阵的概念,1903年，Fredholm，积分算子的广义逆 1920年，Moore，矩阵的广义逆 1955年，Penrose，证明了唯一性 所以，在下面的矩阵的广义逆的定义中的四个方程也称为Moore- Penrose方程，简称M-P方程。,330,广义逆矩阵的定义,331,例1,332,定理1,333,例2,334,例3,335,例4,336,例5,337,例6,338,例6,339,例7,340,第二节 广义逆矩阵的性质,341,定理1,342,定理1（续）,343,例1,344,例2,345,定理2,346,第三节 广义逆矩阵的应用,347,最小二乘解,348,定理1,349,定理2,