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1、第十节 函数的模型及其应用,一、三种增长型函数模型的图象与性质,二、三种增长型函数之间增长速度的比较 1指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0) 在区间(0，)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长 xn的增长，因而总存在一个x0，当xx0时有 . 2对数函数ylogax(a1)与幂函数yxn(n0) 对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会 yxn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有 . 综上，可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个x
2、0，使xx0时有 .,快于,axxn,慢于,logaxxn,axxnlogax,疑难关注 解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质； (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论,1(课本习题改编)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x) Cg(x)h(x
3、)f(x) Df(x)h(x)g(x) 解析：画出函数的图象，当x(4，)时，指数函数的图象位于二次函数图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)f(x)h(x) 答案：B,2在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： 则下列函数与x，y的函数关系最接近的是(其中a，b为待定系数)( ) Ayabx Byabx Cyax2b Dya 解析：由表格数据得，模拟函数为yabx. 答案：B,3(2013年长春模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的
4、运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) 解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B. 答案：B,4(2013年银川模拟)某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013年预计经营总收入为_万元,答案：1 300,5(课本习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本
5、利和y随存期x变化的函数关系式是_ 答案：ya(1r)x，xN*,1(2013年浙江金华十校期末)有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙厚度不计) 解析：本题是实际问题，建立函数关系即可设矩形场地的宽为x m，则矩形场地的长为(2004x) m，面积Sx(2004x)4(x25)22 500.故当x25时，S取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m2. 答案：2 500 m2,考向二 分段函数模型 例2 (2013年日照模拟)据气象中心观察和预测：发
6、生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km) (1)当t4时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由,2(2013年鹤壁模拟)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势
7、(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表： 而这20天相应的销售量Q(百件/天)与时间x对应的点(x，Q)在如图所示的半圆上 (1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数； (2)在这20天中哪一天销售收入最高？此时单价P定为多少元为好？(结果精确到1元),3(2013年长春测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A略有盈利 B略有亏损 C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况 解析：设该股民购这支股票的价格为a
8、，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损 答案：B,【名师点评】 解函数应用题的一般程序是： 第一步：理清题意；分析题目中的条件与结论，理顺数量关系，弄清所求问题； 第二步：数学建模；结合题意及问题，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求解模型；求解数学模型，得到数学结论； 第四步：问题回答；将上步中解决得到的结论还原到实际问题中，作出回答,(1)写出y的表达式； (2)设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少,本小节结束 请按ESC键返回,