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1、第十章 双线性函数 与二次型,10.3 规范形与惯性定理,10.2 化二次型为标准形,10.1 双线性函数与二次型,10.4 正定二次型与正定矩阵,一、双线性函数,二、度量矩阵,10.1 双线性函数与二次型,三、对称双线性函数与二次型,一、双线性函数,设 是数域 上的 维线性空间，映射,定义,为 上的二元函数.,即对,根据 唯一地对应于 中一个数,如果,具有性质:,其中,则 称为 上的一个双线性函数.,对于线性空间V上的一个双线性函数 当固定一个向量 (或 )不变时，可以得出一个线性函数.,注,例1.线性空间 上的内积即为一个双线性函数.,例2. 上两个线性函数,定义,证明: f 是V上的一个
2、双线性函数.,证：,例3.设 是数域 上的 维线性空间，,令,则 为 上的一个双线性函数.,若,则,事实上，或是数域 上任意上的 维线性 空间 上双线性函数 的一般形式.,设 为数域 上线性空间V的一组基，,设,则,令,则,其中,设 是数域 上任意上的 n 维线性 空间V上一个双线性函数， 为V的 一组基，则矩阵,称为 在 下的度量矩阵.,二、度量矩阵,定义,三、 对称双线性函数与二次型,定义1.,设 为数域P上线性空间V上的一个双线 性函数，如果对V中任意向量 均有 则称 为对称双线性函数.,定义2.,设 为数域P上线性空间V上的一个双线 性函数，如果对V中任意向量 均有 则称 为反对称双线性函数.,定理2 设V是数域P上n 维线性空间. 是V上对称双线性函数，则存在一组基 ，使 在这组基下的度量 矩阵为对角形.,定理1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数 是对称的（反对称的） 在V的任意 一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）.,线性空间V上双线性函数 当 时，V上函数 称为与 关联的二次 齐次函数.,设 的度量矩阵为, 给定V的一组基,式中 的系数为,有,（1）,定义3.,一个对称双线性函数只能导出一个二次型.,此即为以前学过的二次型.,此时，,而二次型与对称矩阵1-1对应.,作业,练习 10.1.1， 10.1.3,习题 10.1.2,