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1、4.3 更新定理,回忆Poisson过程的第三定义(定义3.3):,本节主要介绍三个重要的更新定理，他们是更新理论的基本结论，并有着广泛的应用.,推广：对于Poisson过程有(*)这种性质，那么我们自然 会问：一般的更新过程也有类似的性质吗？,寄语：在离开原点很长时间后，单位时间内发生更新的平均次数 是 ，这在直观上是容易理解的，因为 表示的就是更新的平均频率.,Blackwell 更新定理,为了叙述Blackwell定理，我们引入一个概念:,注：由该定义知，X是格点的，意指X只能取某个非负数d的整数 倍(显然是离散的)，但并不一定把全部的nd（n=1，2，）都取 遍. 例如，X取值为1，3
2、，4，6，7，9，10，则它是挌点的，周期 为1.,定理 4.6 (Blackwell 更新定理),(1) 如果F不是格点分布，,则对一切,(2) 如果F是格点分布，周期为d，则当,本节的最后一个更新定理Smith关键更新定理，它是与定理4.6等价的.,Blackwell 更新定理的直观意义： (1) 在远离原点的长度为a的区间内，更新次数的期望是 因为这里的 是长时间后更新过程发生的平均速率.,(2) 如果X是格点的，更新只能发生在d的整数倍处， 从而更新次数依赖区间上形如nd的点的数目，而同样 长度的区间内含有此类点的数目是可以不同的，故 (1)不成立了.,定理 4.7 （关键更新定理）,论述一下定理4.6与4.7的等价性.,我们仅仅考虑F不是格点的，先取一个满足定理4.7的函数h(t):,将其代入定理4.7中的更新方程，有,反过来，由Blackwell更新定理知，对任意的,从而，,我们假设极限次序可交换，有,即当t很大时，,显然，定理4.3 中M(t)，m(t)满足的积分方程是更新方程的特殊情况.,我们既然给出了一个更新方程，自然要问：这样的方程有解吗？有的话，是什么呢？解唯一吗？,前面我们讨论了更新方程的定义及其解的存在性问题，现在我们考虑它的一个应用，即,Wald 等式,注： Wald 等式也可以利用独立性直接得其证明，留做作业.,