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4.2 更新方程及其应用,4.2.1 更新方程,记更新函数为M(t)=EN(t)，设M(t)可导，则其导数称为更新密度, 记为m(t).,我们先介绍一个概念: 更新密度.,接下来我们证明这个定理，除了书中的证明，我利用纯 概率的方法给出另一种证明方法,M(t)和m(t) 亦有另外的表达式，即积分形式的表达式：,卷积的分配律,卷积的定义,寄语：该证明方法的关键是对第一个更新时刻取条件期望，它充分利用了 更新过程的构造特点，即从某一个更新时刻起，概率上更新过程好像重新开始一样，这种方法通常称为更新技巧，是研究更新过程的主要方法之一.,从上述定理4.3，我们容易看到：M(t)，m(t)分别满足积分方程，形如这样的方程都有一个统一的名字，即,更新方程,显然，定理4.3 中M(t)，m(t)满足的积分方程是更新方程的特殊情况.,我们既然给出了一个更新方程，自然要问：这样的方程有解吗？有的话，是什么呢？解唯一吗？,前面我们讨论了更新方程的定义及其解的存在性问题，现在我们考虑它的一个应用，即,Wald 等式,注： Wald 等式也可以利用独立性直接得其证明，留做作业.,