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1、专题七 概率与统计 第一讲 计数原理、二项式定理,一、主干知识 1.两个计数原理: (1)分类计数原理：完成一件事有几类不同的方案，各类方案 _，每类方案中又有多种不同的方法，则完成这件事 的不同方法数是各类不同方法数的和. (2)分步计数原理：完成一件事需要分成几个步骤，每一步的 完成又有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法数是每一 步中各种不同的方法数的_.,相互独立,乘积,2.排列与组合：,排成,组成,二、重要公式(性质) 1.排列数公式: _ _(这里，m，nN*，且mn). 2.组合数公式： (1) _ =_ (这里，m，nN*，且mn).,n(n-1)(n-2)(n-m+1),3
2、.组合数的性质： _. _ +_. 4.二项式定理： (1)(a+b)n=_. (2)通项公式：Tr+1=_.,1.(2013常州模拟)从集合-1，1，2，3中随机选取一个数 记作m,从集合-1,1,2中随机选取一个数记作n，问使方程 表示双曲线的情况有_种. 【解析】 表示双曲线，需m,n异号，所以m=-1时， n=1或n=2;m=1时，n=-1;m=2时,n=-1;m=3时，n=-1，共5种. 故使方程 表示双曲线的情况共5种. 答案：5,2.(2012浙江高考改编)若从1，2，3，9这9个整数中同 时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有多少种? 【解析】均为奇数时，有 (种);均
3、为偶数时，有 (种)；两奇两偶时，有 (种)，共有66种.,3.(2013昆明模拟)求 展开式中的常数项. 【解析】展开式的通项为 由12-4k=0，得k=3，所以常数项为 所以 展开式中常数项为-4.,4.(2013安徽高考改编)若 的展开式中x4的系数为 7，求实数a的值. 【解析】因为Tr+1= 令 则r=3，所以由,热点考向 1 应用两个计数原理及排列、组合计数 【典例1】(1)从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有多少种?,(2)(2013杭州模拟)两人进行乒乓球比赛，先赢3
4、局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有多少种? (3)(2013济南模拟)从1，3，5，7，9中任取2个数，从0，2，4，6中任取2个数组成没有重复数字的四位数，若将所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是多少？,【解题探究】 (1)本题是排列还是组合问题？需分类还是分步？ 提示：本题是组合问题，需分步完成. (2)所有可能出现的情形有几类情况？ 提示：有三种情况，分别为：恰好打三局；恰好打四局；恰好 打五局. (3)满足条件的四位数如何分类探求？ 提示：按形如“15”“25”分类计数去探究.,【解析】(1)从5人中选4人有 种方法，星
5、期五有一人参加有 种方法，星期六有两人参加有 种方法，共有 种方法. (2)分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3 局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2 =6种情形；恰好打5局 (一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2 =12种情形. 所有可能出现的情形共有2+6+12=20种.,(3)形如“15”，中间所缺的两数只能从0，2，4，6中 选取，有 个. 形如“25”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有 个. 形如“35”，同有 个. 形如“45”，同，也有 个. 形如“65”，也有 个， 以上5类小于7 000的数共有96个. 故第97个数是7 025，第98个数是7
6、045，第99个数是7 065， 第100个数是7 205.,【互动探究】题(3)中组成的没有重复数字的四位数中能被5整 除的有多少个？ 【解析】分两类.一类形如“0”,有 (个). 二类形如“5”,其中0当选有 个. 0不当选的有 个. 由分类计数原理有180+48+72=300个.,【方法总结】 1.求解排列、组合问题的思路 排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘. 2.排列、组合应用问题的常见解法 (1)特殊元素(特殊位置)优先安排法. (2)合理分类与准确分步法. (3)排列与组合混合问题先选后排法.,(4)相邻问题捆绑法. (5)不相邻问题插空法. (6)定序问题
7、缩倍法. (7)多排问题一排法. (8)“小集团”问题先整体后局部法. (9)构造模型法. (10)正难则反，等价转化法.,【变式备选】(2013四川高考改编)从1,3,5,7,9这五个数中， 每次取出两个不同的数分别为a,b，共可得到lg a-lg b的 不同值有几个？ 【解析】由于lg alg b= 从1,3,5,7,9中取出两个不同 的数分别赋值给a和b共有 种，而得到相同值的是1,3与 3,9以及3,1与9,3两组，所以满足题意的共有18组.,热点考向 2 二项式定理的应用 【典例2】(1)(2013肇庆模拟) 的展开式中含x的 正整数指数幂的项数有几项？ (2)(2013北京模拟)若
8、 的展开式的常数项为84， 求a的值. (3)若(1-2x)2 014=a0+a1x+a2x2+a2 014x2 014(xR), 求 的值.,【解题探究】 (1)展开式中含x的正整数指数幂的项，需具备什么条件？ 提示：x的幂指数属于正整数. (2)使Tr+1为常数项的r值为_. (3)令x=_,则a0=_;令x=_， 则 _.,6,0,1,0,【解析】(1)展开式通项为Tr+1= 若展开式中含x的正整数指数幂，即 N*,且0r10, rN,所以r=0,2.故有两项. (2)Tr+1= 令r=6，得其常数项为 即84a3=84,解得a=1. (3)令x=0得a0=1. 令x= 得 所以,【方法
9、总结】解答关于二项式定理问题的“五种”方法 (1)特定项或其系数等常规问题通项分析法. (2)系数和差型赋值法. (3)近似问题截项法. (4)整除(或余数)问题展开法. (5)最值问题不等式法.,【变式训练】(2013虹口模拟)数列an的前n项和记为Sn，且满足Sn=2an-1. (1)求数列an的通项公式. (2)求和 【解析】(1)由Sn=2an-1得Sn+1=2an+1-1，相减得an+1=2an+1- 2an，即an+1=2an. 又S1=2a1-1,得a1=10, 所以数列an是以1为首项2为公比的等比数列, 所以an=2n-1.,(2)由(1)知Sn=2n-1, 所以 =2(1+
10、2)n-2n =23n-2n.,分类讨论思想 解决排列、组合应用题 【思想诠释】 1.主要类型：(1)利用分类加法计数原理将较复杂的计数问题分类去计.(2)含有特殊元素(位置)的可进行分类讨论.(3)解答有限制条件的计数问题按限制条件进行分类讨论.(4)与几何图形有关的计数，可根据图形的形状，位置的变化分类讨论.,2.解题思路：常常根据特殊元素(位置)当选(由谁来占)的情况进行分类. 3.注意事项：(1)分类应在同一标准下进行，确保“不漏” “不重”.(2)最后要将各类情况准确求和.,【典例】 (10分)(2013沈阳模拟)如图所示，在排成44方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12
11、个点在圆外.从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有多少个？,【审题】分析信息，形成思路 (1)切入点：按从圆内四点中取点的个数分类求解. (2)关注点：“至少有一个顶点在圆内”，需对选取情况分类.,【解题】规范步骤，水到渠成 按从圆内四点任取3点，2点，1点分三类： 第一类：从圆内取3点，有 种；3分 第二类：从圆内取2点，圆外12点中取1点有 种； 第三类：从圆内取1点，圆外12点中取2点，有 种.8分 由分类计数原理知，所求的三角形共有 个.10分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移 1.已知集合A=1，2，3，4，函数f(x)的定
12、义域、值域都是 A，且对于任意iA,f(i)i,设a1,a2,a3,a4是1，2，3，4的任 意一个排列，定义数表 若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同 的数表，那么满足条件的不同的数表共有多少个？,【解析】首先排列a1,a2,a3,a4是1，2，3，4的任意一个排列， 共有 种结果， 再排列a1,a2,a3,a4对应的函数值， 因为f(i)i, 所以第一个函数值有3种结果，后面几个函数值依次有3，1，1 种结果，共有3311=9种结果， 根据分步计数原理知共有249=216种结果.即共有216个.,2.(2013成都模拟)平面内有8个点，其中4个点在一条直线 上，其他再没有
13、三点共线，那么经过这8个点可以连成不同的 三角形个数是多少？ 【解析】从共线的4点中取1点，不共线的4点中取2点，有 个三角形；从共线的4点中取2点，不共线的4点中取1点，有 个三角形；从不共线的4点中取3点，有 个三角形.共有 个三角形.,3.(2013南昌模拟)从5位男生和4位女生中选取3人担任年级学生会干部中的三个不同职务，其中一个职务必须由女生担任，则不同的可能情形种数是多少？ 【解析】分三类情况： (1)1位女生: (2)2位女生： (3)3位女生： 所以不同情形共有80+120+24=224种.,4.用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”(即图中A，B所示区域)必须用相同颜色，则不同的涂法共有多少种？(用数字作答).,【解析】由题意知本题是一个分类计数问题， 可以分为三种情况讨论， 一共用了3种颜色，共有 种结果， 一共用了2种颜色，共有 种结果， 一共用了1种颜色，共有6种结果， 所以根据分类计数原理知，共有120+90+6=216种.,