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1、第二讲 三角恒等变换,必记公式 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： S()：sin()=_. C()：cos()=_. T()：tan()=_.,sin cos cos sin ,cos cos sin sin ,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式： S2：sin 2=_. C2：cos 2=_=2cos21=12sin2. T2：tan 2= 3.降幂公式： sin2= _. cos2= _.,2sin cos ,cos2-sin2,1.(2013郑州模拟)计算：sin 43cos 13 cos 43sin 13的结果等于_. 【解析】原式=sin(43-13)=sin 30= 答案：,2
2、. (2013广东高考改编)已知 那么 cos =_. 【解析】 答案：,3.(2013浙江高考改编)已知R，sin +2cos = 则tan 2=_. 【解析】由 解得 或 所以tan = 或tan =3，,当tan = 时， 当tan =3时，tan 2= 答案：,4.(2013苏州模拟)已知cos(75+)= 则cos(30-2) 的值为_. 【解析】因为cos(30-2)=cos180-(150+2) =-cos(150+2)=-2cos2(75+)+1 答案：,5.(2013南京模拟)已知sin = +cos ，且 则 =_. 【解析】因为sin = +cos ，所以cos -sin
3、 = 答案：,热点考向 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 【典例1】(1) =_. (2)(2013苏州模拟)若 sin 2= 则 cos -sin =_.,【解题探究】 (1)47如何拆分？ 提示：47=17+30. (2)当 时，sin 与cos 大小关系如何？ 提示：sin cos .,【解析】(1) 答案：,(2)因为 所以sin cos , cos -sin = 答案：,【互动探究】若题(2)中“ ”改为“ ”， 其他条件不变，结果如何？ 【解析】因为 所以sin cos , cos -sin = 答案：,【变式备选】已知 =2，则 =_. 【解析】tan x= 所以 答案：,【
4、方法总结】关于两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用 (1)公式的逆用:对于asin x+bcos x形式的三角式,当|a|b| 等于11, 1,1 时,可提取 后逆用两角和与差 的正弦公式化为 sin(x+)的形式,其中tan = (2)公式的变形:由两角和与差的正切公式可变形为tan + tan +tan(+)tan tan =tan(+),tan -tan -tan(-)tan tan =tan(-)用于化简求值.,(3)拆角变换:当已知条件中角比较多时,应设法寻求角度之 间的关系,必要时对角进行拆分,如2=(+)+(-), 等.,热点考向 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 【典例2】(
5、1)(2013四川高考)设sin 2=-sin , 则tan 2=_. (2)(2013徐州模拟)已知 则cos 2=_.,【解题探究】 (1)求tan 2的值，只需求出的哪个三角函数值？ 提示：因为tan 2= 所以只需求出tan 即可. (2)求cos 2的值，只需求的哪个三角函数值？ 提示：cos 或sin 都可以.,【解析】(1)因为sin 2=-sin ，所以2sin cos = -sin ，即cos = 又因为 所以tan = tan 2= 答案：,(2)因为 所以 即 所以 cos 2=2cos2-1= 答案：,【方法总结】 1.应用二倍角公式的注意事项 (1)由结论选择应用哪个
6、公式. (2)由公式选择求某个角的哪个三角函数值. 2.关于二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用 (1)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (2)常见变形:sin xcos x= sin 2x,(sin xcos x)2 =1sin 2x.,【变式训练】已知函数f(x)= (1)求函数f(x)的最小正周期和值域. (2)若为第二象限角，且 求 的值.,【解析】(1)因为f(x)=1+cos x- sin x=1+ 所以 函数f(x)的最小正周期为2，值域为-1，3. (2)因为 所以1+2cos = 即cos = 因为 又因为为第二象限角，所以sin = 所以原式,热点考向 3
7、 三角恒等变换问题的综合应用 【典例3】(2013梅州模拟)已知函数f(x) sin xcos x 2cos2x1(xR) (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 上的最大值和最 小值. (2)若f(x0) x0 求cos 2x0的值.,【解题探究】 (1)函数f(x)的化简思路： 倍角公式： sin xcos x=_. 降幂公式：2cos2x1=_. 将f(x)转化为f(x)=Asin(x+)可采用怎样的方法？ 提示：可采用配凑法，也可采用辅助角公式asin x+bcos x= sin(x+)(其中tan = ).,cos 2x,(2)求cos 2x0的值的思路： 配角：2x0=_. 求值
8、：cos 2x0=_.,(2x0+)-,cos(2x0+)cos +sin(2x0+)sin ,【解析】(1)由f(x) sin xcos x2cos 2x1，得 f(x) (2sin xcos x)(2cos2x1) sin 2xcos 2x 所以函数f(x)的最小正周期为. 因为f(x) 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数， 又f(0)1， 所以函数f(x)在区间 上的最大值为2，最小值为1.,(2)由(1)可知f(x0) 又因为f(x0) 所以 由x0 得 从而 所以cos 2x0,【方法总结】 1.三角函数式化简的思路与方法 (1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公
9、式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的运用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法 (2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等,2.常用角的变形 (1)().(2)(). (3)()()2.(4)()()2. (5),【变式训练】已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(xR). (1)当x取什么值时，函数f(x)取得最大值，并求其最大值. (2)若为锐角，且 求tan 的值.,【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+cos 2x =sin 2x+cos 2x= 所以当 (kZ)，即x=k+ (kZ
10、)时， 函数f(x)取得最大值，其值为,(2)因为 所以 所以cos 2= 因为为锐角，即0 所以02, 所以sin 2= 所以tan 2= 所以 所以 tan2+tan - =0, 所以( tan -1)(tan + )=0, 所以tan = 或tan = (不合题意，舍去), 所以tan =,【典例】已知A，B，C是ABC的三个内角，向量 n(cos A，sin A)，且mn1. (1)求角A. (2)若 求角B.,三角恒等变换的交汇问题,【解题探究】 (1)本题中mn=_. (2)已知三角函数之间的关系求角B的思路： 化简：利用三角公式将 化简； 求值：化简求得tan B的值，这里用到_
11、的 求解方法.,三角函数的齐次式,【解析】(1)因为mn 所以 因为0A，所以 所以,(2)因为 所以 所以 所以 所以 解得 所以,【方法总结】与三角恒等变换交汇问题的解题思路 (1)与平面向量交汇：利用平面向量坐标表示、数量积、向量的模、向量的夹角等进行运算，将平面向量问题转化为三角恒等变换问题. (2)与三角形交汇：利用三角形内角和为180度，确定角的范围，有时结合正余弦定理解答.,【变式备选】已知a=(1,cos x),b= x(0,). (1)若ab，求 的值. (2)若ab，求sin x-cos x的值. 【解析】(1)因为ab 所以,(2)因为ab 所以(sin x-cos x)
12、2=1-2sin xcos x= 又因为x(0，)且sin xcos x0 sin x-cos x0，所以sin x-cos x=,转化与化归思想 解答三角恒等变换问题 【思想诠释】 1.主要类型：(1)求角的问题，如常用到角的转化，即单角转化为倍角、半角；函数名的转化，将切函数转化为弦函数；函数结构式的转化，遵循由繁到简的原则.(2)求函数的值域、单调性、周期，如常先将函数的解析式转化为y=Asin(x+)+B (或y=Acos(x+)+B，y=Atan(x+)+B)的形式，即将问题转化为求y=sin x(或y=cos x，y=tan x)的值域、单调性、周期.,2.解题思路：一角二名三结构
13、，即用转化与化归的思想“去异求同”的过程，具体分析如下： (1)变角：观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心.(2)变名：看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，注意诱导公式的运用.(3)结构：观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等 3.注意事项：(1)在运用诱导公式的过程中，常出现三角函数名变换错误、三角函数值的符号错误等情况，应加强对公式的理解，避免出现错误.(2)在利用三角恒等变换求三角函数值时不要忽略正弦、余弦函数的有界性，重视角的范围的探求.,【典例】 (14分)(2013合肥模拟)已知函数f(x)= (1) 当m=0时，求f(x)在
14、区间 上的取值范围 (2)当tan =2时，f()= 求m的值,【审题】分析信息，形成思路 (1)切入点：把m=0代入f(x)，利用三角恒等变换进行求解 关注点：含有区间 需进行区间转化 (2)切入点：用三角恒等变换进行转化 关注点：给出tan =2，考虑到三角函数的齐次式,【解题】规范步骤，水到渠成 (1)当m=0时，f(x)=sin2x+sin xcos x 2分 又由x 得 ，4分 所以 ， 从而f(x)= 所以f(x)在区间 上的取值范围为 6分,(2)f(x)= 化简得：f(x)= 9分 由tan =2，得： ， cos 2= 12分 所以 得m=-2 14分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移 (2013嘉兴模拟)已知函数f(x)= xR，且 (1)求A的值 (2)设, 求cos(+)的值,【解析】(1)因为 所以 所以A= (2)因为 所以 所以sin =,又因为 所以 所以cos = 又因为, 所以cos = sin = 所以cos(+)=cos cos sin sin ,