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1、第十节 导数在研究函数中的应用,考点探究挑战高考,考向瞭望把脉高考,第十节 导数在研究函数中的应用,双基研习面对高考,1函数的单调性与导数,双基研习面对高考,思考感悟 1若函数f(x)在区间a，b内单调递增，则f(x)0，这种说法是否正确？ 提示：不正确，函数f(x)在区间a，b内单调递增，则f(x)0，此处f(x)0，并不是指x在a，b内处处有f(x)0，可能只在某些具体的点处f(x)0，即f(x)不恒等于0.,2函数的极值 (1)函数的极值的概念： 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧_，右侧_，则点a叫做函数yf(x
2、)的_，f(a)叫做函数yf(x)的_,f(x)0,f(x)0,极小值点,极小值,函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧_，右侧_，则点b叫做函数yf(x)的_，f(b)叫做函数yf(x)的_极小值点、极大值点统称为_，极大值和极小值统称为_ (2)求函数极值的步骤： 求导数f(x)； 求方程f(x)0的根； 检查方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取_，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取_,f(x)0,f(x)0,极大值点,极大值,极值点,极值,极大值,极小值,思考感悟 2方程f(x)0的根就是函
3、数yf(x)的极值点是否正确？ 提示：不正确，方程f(x)0的根未必都是极值点,3函数的最大值与最小值 在闭区间a，b上连续，在(a，b)内可导，f(x)在a，b上求最大值与最小值的步骤： (1)_ ； (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_,求f(x)在(a，b)内的极值,最大值,最小值,4生活中的优化问题 利用导数解决实际问题中的最值问题应注意： (1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去 (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是
4、最大(小)值 (3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间,1函数f(x)xlnx的单调区间是_ 答案：(0,1) 2函数y2x33x212x5在0,3上的最大值，最小值分别是_ 答案：5，15,3f(x)x33x23x的极值点的个数是_ 答案：0 4函数yax3x在(，)上是减函数，则a的取值范围是_ 答案：(，0,考点探究挑战高考,利用导数判断函数单调性的步骤 (1)求导数f(x)； (2)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0或f(x)0； (3)根据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间,【思路分析】 (1)求
5、f(x)及f(2)，(2)求f(x)，转化为研究二次函数的问题，对a分类讨论,【名师点评】 常见的分类讨论原因有函数的类型不确定及求的根大小不确定等，与求导后所得的函数类型有关，讨论的关键是要理清线索，做到不重不漏,变式训练1 设函数f(x)x3ax29x1(a0)若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求： (1)a的值； (2)函数f(x)的单调区间,【名师点评】 在解决已知函数单调区间求参数值或范围时，要注意两种题型的区别，一是已知f(x)单调区间为D，求参数范围，二是已知f(x)在D上单调，求参数范围,变式训练2 已知f(x)x22xalnx，若f(x)在区间(0,1上恒
6、为单调函数，则实数a的取值范围为_,2x22xa0或2x22xa0在区间(0,1上恒成立，即a(2x22x)或a(2x22x)， 而函数y2x22x在区间(0,1的值域为4,0)， a0或a4. 答案：a0或a4,利用导数求函数极(最)值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值,【思路分析】 先求出函数f(x)的导函数f(x)，再令导函数f(x)0，并求出其根，然后对a分a0、a0两种情
7、况，列表讨论f(x)与f(x)的变化情况，最后由f(x)与f(x)的变化情况确定出函数的极值,【名师点评】 本题是三次函数的极值点问题，三次函数求导后，导函数为二次函数，因而讨论时可结合二次函数的知识，尤其是二次函数的图象来研究,变式训练3 (2010年高考重庆卷)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数 (1)求f(x)的表达式； (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值,(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式yf(x)；(2)求导数f(x)，解方程f(x)0；(3)判断使f
8、(x)0的点是极大值还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点,(2011年泰州高三联考)甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量(百吨)与时间t(小时)的关系是：f(t)2sint，t0,12，乙水池蓄水量(百吨)与时间t(小时)的关系是：g(t)5|t6|，t0,12问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？(参考数据：sin60.279),【思路分析】 建立甲、乙两水池蓄水量之和与关于t的函数关系，利用导数求解模型 【解】 设甲、乙两水池蓄水量之和为H(t)
9、f(t)g(t)，当t0,6时， H(t)f(t)g(t)2sint5(6t)sintt1， H(t)cost10， 所以H(t)在t0,6上单调递增， 所以H(t)maxH(6)7sin66.721；,当t(6,12时， H(t)f(t)g(t)2sint5(t6)sintt13， H(t)cost10， 所以H(t)在t(6,12上单调递减， 所以H(t)6.721； 故当t6 h时，甲、乙两水池蓄水量之和H(t)达到最大值，最大值约为6.721百吨 【名师点评】 实际应用问题中的导数模型，主要是利用导数求最值，一旦在题中建立了函数关系，就转化成了函数求导问题，因而准确建立函数关系是解题的
10、关键,变式训练4 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB20 km，BC10 km.为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设排污管道的总长度为y km. (1)按下列要求建立函数关系： ()设BAO(rad), 将y表示为的函数； ()设POx(km)，将y表示成x的函数 (2)请你选用(1)中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短,方法技巧 1利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x)
11、0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)0，甚至可以在无穷多个点处f(x0)0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此，在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，
12、则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数的取值范围确定 2证明不等式f(x)g(x)，通常转化为证明F(x)f(x)g(x)0，也就是证明F(x)min0，因此可利用导数求F(x)min.,3函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值,失误防范 1利用导数求解函数的单调区间时，忽视定义域常造成单调区间错误 2在已知函数的单调
13、性求某些字母的取值范围时，常转化为f(x)0或f(x)0恒成立的问题，此处易忘掉对“”的考虑，即问题考虑不严谨 3有关函数f(x)与f(x)的图象，在判断时，f(x)的符号反映f(x)的单调性，易错认为f(x)的图象的单调趋向就是f(x)的单调趋向,本部分是历年高考的一个热点，主要考查利用导数判断或论证函数的单调性、函数的极值或最值，在应用题中用导数求函数的最大值和最小值等，属于中高档题以函数为背景，以导数为工具，在函数、不等式及解析几何等知识网络交汇点命题，已成为高考的热点问题,考向瞭望把脉高考,另外，利用导数处理三次函数问题已成为新高考命题的一大亮点，而三次函数作为高次函数，在高中数学中，
14、主要是以导数为载体进行研究的，因此，利用导数解决三次函数问题已成为高考命题的一个趋势,【名师点评】 导数的有关问题的解法基本上是固定不变的，变化的常常是问题与条件的变换，如本题第(3)问是一种恒成立问题，其实质是转化为求(a)的最大值因而，导数题的难点在于是否理解透彻题意，转化为常见的函数求导问题在掌握此类题目时可掌握住通性通法，并了解有关的命题方式,1函数yx2sinx在(0,2)内的单调增区间为_,2已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取极值10，则f(2)_.,答案：18,3已知函数f(x)x33x29xa(a为常数)，在区间2，2上有最大值20，那么此函数在区间2,2上的最小值为_ 解析：f(x)3x26x90得x1或x3(舍去)， f(2)2a，f(1)5a，f(2)a22， a2220，a2.故最小值为f(1)7. 答案：7,4设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围是_ 解析：yexa0，exa，xln(a)， x0，ln(a)0且a0.a1，即a1. 答案：a1,温馨提示：巩固复习效果，检验教学成果。请进入“课时闯关决战高考(13)”，指导学生每课一练，成功提升成绩.,本部分内容讲解结束,点此进入课件目录,按ESC键退出全屏播放,谢谢使用,