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1、数学五简介,章建跃 ,一、内容和要求,第一章 解三角形 本章主要内容是介绍三角形的正弦定理、余弦定理，及其简单应用，旨在通过对任意三角形边长和角大小关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。,1.1 “正弦定理和余弦定理” 对于正弦定理，教科书首先让学生回忆任意三角形中有“大边对大角，小边对小角的边角关系”，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引出三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就
2、很容易得到直角三角形中的正弦定理。,分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现和实际上表示了锐角三角形边AB上的高。这样，利用高的两个不同表示，就可以证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。,利用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，教科书首先说明了什么是解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边叫做三角形的元素。由已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。应该注意，上述对于解三角形的描述是对传统的关于解三角形的一个简化。在传统的解三角形问题中，还把三角形的中线、高、角平
3、分线等也作为三角形的元素。教科书对此作了简化的处理，仅把边和角作为元素。,正弦定理实际上包含了三个等式，每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系，因此，正弦定理可以用于两类解三角形的问题： （1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。 （2）已知三角形的两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。,教科书用两个例题说明应用正弦定理解三角形的方法。已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形，教科书在探究与发现：“关于解三角形的进一步讨论”中对此作了说明。教科书的例2也涉及了这种情况。,对于余弦定理，教科书首先研究把已知两边及其夹角
4、判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。根据判定三角形全等的方法，已知三角形的两条边及其所夹的角，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。解这个三角形，就是从量化的角度来研究这个问题。教科书先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题，考虑用向量的数量积来加以证明。教科书利用向量的数量积证明了余弦定理。,余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第
5、四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。 应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有： （1）已知两边和它们的夹角解三角形； （2）已知三角形的三边解三角形。,分析了余弦定理与勾股定理之间的关系，即余弦定理可以看作是勾股定理的推广，教科书中的例3和例4说明了余弦定理及其推论可以解决的解三角形问题。在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题。,12 “应用举例” 正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，教科书在第1.2节“应用举例”介绍了它们在测量距离、高度、角度
6、等问题中的一些应用。对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等。但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性。这里介绍的许多问题是用以前的方法所不能解决的。,本节的例1和例2是两个有关测量距离的问题。例1 是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，例2 是测量两个不可到达的点之间距离的问题。例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题。由于底部
7、不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决，但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。例6是一个有关测量角度的问题。,关于三角形的有关几何计算，教科书涉及了三角形的高和面积的问题。教科书直接给出了计算三角形的高的公式，这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到。教科书证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式。,在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形的知识，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。教科书的例7和例8说明了在不同已知条件下求三角形面积问题的常见解法。已知
8、三角形的三边求三角形面积的问题在历史上是一个重要的问题，在西方有海伦公式，在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”，教科书在阅读与思考中对此作了介绍，在习题中要求学生加以证明。,例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问题，课程标准要求不在这类问题上作过于繁琐的训练，教科书选择的例题仅限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题。,本章内容有很强的实践性，教科书安排了第1.3节“实习作业”。 根据课程标准，本章有以下的教学要求： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算
9、有关的实际问题。,本章的教学重点是通过对于三角形的边角的探究，证明正弦定理和余弦定理，并运用两个定理解决一些有关的实际问题。 本章的教学难点是通过对于三角形的边角关系的探究，证明正弦定理和余弦定理,以及应用定理解决实际问题。,第二章 数列 本章着重研究两类特殊数列等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式。教科书首先通过所谓三角形数、正方形数引入数列的概念，然后将数列看作一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式、递推公式）。教科书对等差数列是从现实生活中的一些实际问题引入的，然后从等差数列的定义入手，让学生通过探索得到等差数列的通项公式。对于等差数列的前n项和问题，教科书
10、介绍了少年高斯计算的方法，推广得到计算等差数列的前n项和的两个公式，并介绍了这两个公式的应用。,与等差数列呈现方式类似，教科书通过细胞分裂个数问题、计算机病毒感染、银行中的复利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等问题的研究，得到等比数列的定义，然后要求学生类比等差数列的通项公式的推导过程，探索发现等比数列的通项公式，并介绍了公式的应用。教科书通过国际象棋棋盘与麦粒总数的著名例子引入求等比数列的前n项和问题，推导得到求和公式，并介绍了公式的应用。,2.1 数列的概念与简单表示法 教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际上就是按照一定顺序排列着的一列数，并介绍了关于数列的一些基
11、本概念，接着又指出可以把数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数，这样就沟通了数列与函数概念之间的联系，使学生能从函数角度来认识数列，并理解可以用列表、图象、通项公式等方式来表示数列，认识到数列是刻画离散过程的一种重要数学工具。,2.2 等差数列 等差数列在生产和生活中有广泛应用教科书首先从分析四个实际问题中的数据出发引入等差数列以及相关一些基本概念，如等差数列的公差，等差中项等，然后根据等差数列的定义推导了等差数列的通项公式，并举例说明解决有关等差数列的问题。,2.3 等差数列的前n项和 教科书首先介绍了少年高斯计算的方法，以1+2+3+n求和为过渡，最后推广到推导一般等差数列的前n项和
12、公式。本节的例1和例2介绍了等差数列求和公式的应用；例3介绍从数列的前n项和的解析式求数列的通项公式的方法，例题后的“探究”栏目让学生通过探究去发现等差数列前n项和的解析表达式的特点，即等差数列前n项和的解析式是一个常数项为0的二次函数，例4也是关于等差数列前n项和的一个例题。 本节对等差数列前n项和公式的推导是从特殊到一般的一个研究过程。,2.4 等比数列 与等差数列类似，教科书通过对于日常生活中实际问题的概括得到等比数列的基本概念，并让学生通过探究得到等比数列的通项公式。本节的4个例题说明等比数列通项公式的应用，并注意了与算法知识的联系、问题的应用性及基础性。,2.5 等比数列前n项和公式
13、 本节以国际象棋盘与麦粒总数的著名例子来引入等比数列前n项求和问题，并应用了“错位相减”方法推导了等比数列前n项和公式。教科书的例1和例2 说明了前n项和公式的应用，例3则是一个一般数列问题，体现了计算机技术在数学中的应用。本节中的“阅读与思考：九连环”和“探究与发现：购房中的数学”说明了数列知识在实际中的应用。,本章教学要求： 1通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。 2通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有
14、关知识解决相应的问题。体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。,第三章 不等式 不等关系与相等关系都是客观世界的基本数量关系，是数学研究的重要内容。根据课程标准，在本章中学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。,3.1 不等关系与不等式 根据课程标准“通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系、了解不等式（组
15、）的实际背景”的要求，教科书首先从学生熟知的平面几何基础知识和日常生活中经常遇到的长与短、大与小、多与少、远与近等的比较入手，让学生体会客观世界中在数量关系上存在的大量不等关系，认识处理不等关系与处理相等关系同样重要，并应用不等式来表示实际问题中的不等关系。,为了研究不等关系，教科书直接给出了不等式的8条基本的性质，作为后续不等式运算的根据。虽然，课程标准对于不等式基本的性质未作具体要求，根据教学实验中老师的反映，我们在教科书的修订中对此作了一些弥补。,32 一元二次不等式及其解法 教科书从目前学生感兴趣的上网收费问题中两种收费标准下收费情况的比较，引出了一元二次不等式的概念。为了得到一元二次
16、不等式的解集，本节通过观察二次函数图象与其相应的一元二次方程的根的关系，得到一元二次不等式的图解方法，并推广到解一般的一元二次不等式，让学生填充求解一元二次不等式的图表和程序框图。最后，举例说明解一元二次不等式以及在实际中的应用。,3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 首先介绍了用二元一次不等式（组）表示平面区域。能用二元一次不等式（组）表示平面区域，画出给定的不等式（组）表示的平面区域，是学习简单线性规划知识的基础。从研究具体不等式的解集所表示的平面区域出发，讨论具体直线一侧点的坐标与不等式的关系，并作推广，说明一般二元一次不等式也表示直线一侧平面区域。,四个例题分别介绍了怎样用
17、二元一次不等式及二元一次不等式组表示平面区域以及怎样用二元一次不等式表示实际问题中的不等式关系。简单线性规划问题，教科书没有系统介绍一般的线性规划问题的解法，只是局限于能够用图解法解决的二元线性规划问题，把线性目标函数与直线在y轴上的截距概念联系起来，解法相对比较易于操作和理解。教科书举例说明了线性规划问题在实际中的应用。教科书设置的扩展栏目“信息技术应用：用excel解线性规划问题举例”，说明了计算机软件在解线性规划问题中的应用。,34 基本不等式 教科书运用数形结合的思想，分析2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标赵爽弦图中的数量关系，得到了重要不等式，并对此重要不等式作变量代
18、换得到基本不等式，并以填空的形式要求学生自己探索基本不等式的证明过程；再以例题说明基本不等式在解决最大最小值问题中的实际应用。,本章教学要求： 1通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系、了解不等式（组）的实际背景，了解不等式一些基本的性质； 2经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。,3从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
19、 4探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单最大(小)值问题。,二、编写中考虑的几个问题,（一）重视建立问题情境，反映数学应用价值 本书在各章内容的展开过程中重视建立问题情境，展现数学与生产和生活实践的广泛联系，以激发学生学习数学的兴趣,认识数学的应用价值。 在第一章“解三角形”中，引言就从一个测量问题引入：“在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”，这个问题也许大多数学生都会感兴趣。,另外还有：1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？3.怎样在水平飞行的飞机
20、上测量飞机下方山顶的海拔高度？4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？等等，此外在第一章中，教科书在正文、例题、习题等内容中编写了内容丰富的各种实际应用问题，比较充分地反映了解三角形理论的广泛应用。,第二章“数列”自始至终贯彻“数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型”的思想，创造性地发掘了日常生活中大量实际问题，比如三角形数、正方形数、存款利息、出租车收费、校园网问题、谢宾斯基三角形、斐波那契数列、放射性物质的衰变、商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等等。使学生充分感受到数列是反映现实生活的数学模型，体会数学源于实践并应用于实践。,第三章“不等式”从日常生活中经常用
21、到的“长与短、”“大与小”、“多与少”、“远与近”等实际情境中引入不等关系，通过学生感兴趣的上网计时收费问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，从而认识学习不等关系及不等式的是日常生活所需要的。从银行贷款中的资金分配问题中引入二元一次不等式组的数学模型，从现实生产、生活中，经常遇到的资源利用、人力调配、生产安排等问题中引入二元线性规划问题。结合第24届国际数学家大会会标，联系我国古代数学家赵爽的弦图，紧紧抓住弦图中相关面积间存在的数量关系引入不等式，等等。,（二）重视各部分内容之间的联系 课程标准把“解三角形”内容安排在第五个模块，位置相对靠后，在此内容之前学生已经
22、学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简捷。,例如，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角学的方法，需要对于三角形进行分类讨论，方法不够简捷，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的作用。在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”,并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那
23、么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。从上可知，余弦定理是勾股定理的推广。”这样有利于学生把前后知识联系起来。,数列一章也特别注意体现联系性。首先，数列可以看成是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应函数的解析式，数列的项是函数值，序号是自变量，以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点，所以说，数列是一类特殊的函数。本章内容突出了数列与函数的关系，在通过实际问题引入数列概念后，教材指出通项公式实际可看作是数列的函数解析式。,不等
24、式一章则强调不等式与函数、方程的关系，在一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题中，始终注意数形结合，通过对不等式、函数与方程关系的理解来解决所面临的不等式的问题。,（三）重视数学思想方法教学 本册书涉及的数学思想方法有：函数思想，优化思想，数形结合思想，以及类比、归纳等合情推理的方法。第一章“解三角形”对于正弦定理和余弦定理的研究都是从对于初中数学中对于三角形的定性研究进一步深化为定量研究的角度去展开的，突出了函数和量化的数学思想。正弦定理的证明从直角三角形的情形出发，体现从特殊到一般的归纳过程。,第二章不仅贯彻数列是特殊函数的观点，而且不断在等差数列和等比数列之间进行类比，从求1+2+3+
25、100简单问题出发，将方法推广到一般等差数列，从而获得一般等差数列的求和思路，这又是归纳的生动案例。 第三章对于二元一次不等式与平面区域的关系的阐述，体现了从特殊到一般的归纳思想，线性规划的内容则突出体现了优化的思想。 注意体现“数形结合”的思想，数列通过图象揭示与相应函数的联系，“不等式”更强调图象意义，特别是线性规划，从问题的提出到解决，都直接依赖于“平面区域”。,（四）适当地使用现代信息技术 现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。教科书考虑了现代信息技术的教育价值，在各部分内容中都有所体现，在第二章和第三章，分别设计了“信息技术应用”专题，介绍
26、的近似计算和利用EXCEL解决线性规划问题等，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。,三、对教学的几个建议,（一）注意创设问题情境，激发学生学习数学的兴趣 内在动力是数学学习的根本动力，在教学过程中应该充分调动学生学习数学的兴趣。解三角形、数列和不等式三章内容有着丰富的实际背景，除了教科书中的实例，还有很多很好的素材，教学中应充分挖掘，并针对学生的实际认真设计教学方案，提高教学的整体效果。,（二）保证基本训练，不做人为繁琐练习 本书的三章内容都具有一定的综合性，因此要注意保证基本技能的训练。例如，应当使学生理解正弦定理、余弦定理所解决的基本问题，认识解三角形的各种情况；使学生学会利用函数
27、思想、方程思想，理解数列中各量之间的基本关系；使学生学会利用一元二次方程的根，并根据相应函数的图象求解一元二次方程；掌握解决线性规划问题的基本步骤。,从数学教学的传统看，解三角形、数列和不等式等三章内容都有不少高度技巧化、形式化的问题。从上述关于内容定位看，这些技巧化、形式化的问题不是教学的重点。例如，解三角形中，如果与三角变换相结合，可以演化出一些比较复杂的三角恒等变形的问题；数列的教学中，如果与迭代、差分联系起来，就有一些比较复杂的求数列通项公式、求数列和的问题；不等式的证明也有一些技巧性的问题，这些都不在课程标准的教学要求之中，教学中应注意尽量避免这些问题的出现，弱化过分繁琐和技巧化的代数恒等变形是高中数学课程标准的明确要求，应该在教学过程中很好的把握。,（三）适当地使用信息技术 信息技术与课程内容整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。有条件时，应利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，鼓励学生用计算机、计算器等探索和发现。在解三角形中可以利用计算器进行计算，在数列中，可利用相关计算机软件探索规律，在不等式中可利用计算器或计算机软件来寻求不等式的解，可用EXCEL来解简单的线性规划问题,等。,