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1、数学建模及典型案例分析,李志林，欧宜贵编著,化学工业出版社,广西民族大学数学与计算机科学学院,曹敦虔制作,目录,数学建模导言 插值与拟合 微分方程建模方法 差分法建模 计算机模拟 层次分析法 数据的统计描述与分析 回归分析方法 优化模型 确定型时间序列预测法 随机型时间序列预测法,数学建模及 典型案例分析,1 数学建模导言,数学模型及其分类 数学建模例子 数学建模的基本方法和步骤,各种模型,各种模型,各种模型,各种模型,各种模型,各种模型,模型,这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原型替代物。,数学模型,什么是数学模型 数学模型是人们为了认识客观对象在数
2、量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。 例如在牛顿力学中的公式f=ma, s=vt. 爱因斯坦的质能方程E=mc2. 这些都是数学模型. 数学建模就是建立数学模型的过程。,？,数学模型的分类,按应用领域分类: 人口模型，环境模型、交通模型、生态模型 按建模方法分类：初等模型、微分方程模型、差分方法模型、统计回归模型、数学规划模型 按是否考虑随机因素分类：确定性模型和随机模型 按变量的连续性分类：连续模型和离散模型 按对对象内部规律了解程序分类：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型 按变量的基本关系分类：线性模型和非线性模型
3、按是否考虑时间变化分类：静态模型和动态模型,示例1 鸭子过河,有只鸭子想游到河对岸的某个位置O，如果它的方向始终朝着目标O。求这只鸭子的游动曲线。,示例1 鸭子过河,模型假设 假设河的两岸为平行直线，河宽为h; 鸭子游水的速率为b, 水流速率为a, 均为常数; 初始时鸭子的位置为A; 鸭子游动的方向始终指向O.,示例1 鸭子过河,模型建立 取O为坐标原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸。 关键是如何求出P点坐标(x,y)关于时刻t的表达式.,示例1 鸭子过河,t时刻鸭子本身的速度为 河水速度为 所以合速度为,示例1 鸭子过河,即 又由初始条件有 (1.1)(1.2) 就是所求问题的一个微分
4、方程模型。,(1.2),(1.1),示例1 鸭子过河,模型求解 数值解 设时间步长为t, 则,(1.3),示例1 鸭子过河,当yi0时, 说明鸭子已经到达河对岸，应停止计算. 由(1.3)可以算出ti时刻鸭子的位置的近似值.,例如取a=1, b=2, h=10, t=0.3, 则求得结果为,计算(1.3)的Matlab代码,示例1 鸭子过河,所求得的鸭子经过的路线如右图所示。 思考： 此方法所求得的结果为近似值，为什么？,示例1 鸭子过河,2. 精确解 由(1.1)(1.2)可以得到,(1.4),示例1 鸭子过河,(1.4)可以看成是另一种形式的微分方程模型. 它是一个的常微分方程初值问题.
5、求解它可以得到精确解,(1.5),求解方程(1.4)的Maple代码: assume(h0); sol:=dsolve(D(x)(y)=-a*sqrt(x(y)2+y2)/(b*y)+x(y)/y,x(h)=0,x(y): simplify(allvalues(sol);,示例1 鸭子过河,进一步讨论 如果ba, 结果会怎么样? 如果不要求鸭子一定要达到正对岸O, 问鸭子以怎样的游动方向才能以最少的时间到达对岸?,建模过程总结,简化假设 设定符号变量 建立模型 求解模型 解的讨论及推广应用,数学建模的基本方法和步骤,基本方法 机理分析 测试分析,数学建模的基本方法和步骤,一般步骤 问题分析 模型假设 模型建立 模型求解 模型检验和应用,数学建模的基本方法和步骤,假设、抽象、表达,求解,解释、翻译,验证、应用,简短精练、高度概括、准确得体、恰如其分,数学建模论文写作,标题 作者信息 摘要 关键词 正文 参考文献 附录,姓名 通信地址,使用什么方法 解决什么问题 得到什么结论,问题重述 问题分析 模型建立 模型求解 模型应用 模型评价,列出你所参考的文献资料,较长的程序，不是很重要的推导过程、图表等,