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1、主要内容,切线长,相交弦定理,切割线定理,切线判定,直线与圆的位置关系,圆的定义、确定,圆的有关概念,垂径定理及其推论,弧的度数、圆心角 圆周角、弦切角,点与圆的位置关系,三点确定一个圆,角、弧、弦、距定理,圆周角定理及其三大推论,圆的内接四边形定理,主要模块,两大作图,弦、半径、线段的计算,线段的积相等的证明,两种位置关系,角的有关计算,确定圆的方法:,A,B,O,1、确定圆心和半径 2、不在同一直线上的三个点,C,1、圆的定义： 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.,P,C,P,O,性质1：（圆半径的不变性）得出： 点与圆的位置关系,(1)点P在O上 (2)点P在O内 (3)点P在O外,O
2、P=r OPr,直线与圆的位置关系,返回,圆有关概念,弦 直径 弧 半圆 优弧,劣弧 弓形 同心圆 等圆 等弧,3、经过不在同一直线上的三点A、B、C作圆:,作法: (1)作线段AB、AC的垂直平分线MN和PQ， 相交于点O (2)以O为圆心,以OA为半径画圆 则O就是所求作的圆.,B,A,C,O,M,N,P,Q,三角形的外接圆 圆的内接三角形 三角形的外心,垂径定理及推论,垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧,分 解 成 5点,经过圆心,垂直于弦,平分弦,平分优弧,平分劣弧,推论1： 满足2个得到3个,推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等,圆心角、圆心角所对的弦、弧及弦
3、心距之间的关系,A,B,定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等， 所对的弦相等， 所对的弦的弦心距相等,推论： 在同圆或等圆中，如果 两个圆心角 两条弧， 两条弦 两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都相等,圆心角 = 弧的度数 =圆周角 =弦切角,A,B,C,1,O,圆周角： 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角.,A,C,B,O,圆周角定理： 圆周角= 圆心角= 弧的度数,推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.,A,C1,B,C2,C3,推论2： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径.,A
4、,C1,B,C2,C3,O,推论3： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.,A,B,C,O,定理:圆的内接四边形的对角互补,并且 任何一个外角都等于它的内对角,1+D=180,2=D,1、直线和圆的三种位置关系：,P,l,(1)直线 l 和O相交 (2)直线 l 和O相切 (3)直线 l 和O相离,OP=r OPr,l,l,P,P,返回,1、切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线,l,A,OA是半径，lOA 直线 l 是O的半径,3、切线的性质定理推论:,l,A,垂直于切线的直线： (1)过圆心必过切点 (2)过切点必过圆心,已知条件
5、为： 切线和垂直于切线的直线,1.2、切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角,即：,A,P,B,1,2,PA = PB 1=2,2.2、弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角,A,B,P,1,Q,即：1=P,2.3、弦切角定理推论： 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等,3.1、相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等,O,A,P,C,B,D,3.2、相交弦定理推论： 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项,O,A,P,C,PC2 = PAPB,B,D,4.1、切割线
6、定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项,O,A,P,T,B,4.2、切割线定理推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等,O,A,P,T,PAPB =PCPD,B,即：,C,D,切线长,相交弦定理及推论,切割线定理及推论,垂径定理及其推论,弧的度数、圆心角圆周角定理推论2,弦、半径、线段的计算,勾股定理,练习,勾股定理：,A,B,C,c,a,b,a2 + b2 = c2,垂径定理及推论,垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧,经过圆心,垂直于弦,平分弦,平分优弧,平分劣弧,推论1： 满足2个得到3个
7、,推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等,圆心角的度数 = 弧的度数,n,B,A,n,推论2： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径.,A,B,C,O,半圆的度数是180,B,A,180,360,整个圆的度数是360,圆的度数是120,圆的度数是90,切线长定理：,即：,A,P,B,1,2,PA = PB 1=2,相交弦定理：,O,A,P,C,B,D,PAPB = PCPD,相交弦定理推论：,O,A,P,C,PC2 = PAPB,B,D,切割线定理：,O,A,P,T,PT2 =PBPA,B,C,D,切割线定理推论：,O,A,P,T,PAPB =PCPD,B,C,D,例1：
8、如图,在O中,弦AB所对的劣弧为圆的 ,圆的半径为2cm,求AB的长.,A,B,O,C,例2：如图,在O中,弦AB把圆分为度数比为1：5的两条弧，如果圆的半径为5，求弦心距和弦的长.,A,B,O,C,如图：AC=12cm,BC=5cm,求：CD、BD,O,A,D,C,B,如图：O是RtABC的内切圆，且AB=6，AC=8，BC=10。求O的半径。,B,A,C,O,D,E,F,圆外切四边形的周长为48，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长。,如图,AP=4CM,PB=5CM,CP=2CM.求CD,A,B,C,D,P,如图,O是圆心,CPAB,AP=4CM,PD=2CM,求OP,A,B,
9、C,D,P,O,如图,AB是O的弦，P是AB上一点，AB=11cm，PA=7cm， O的半径=8cm。求：OP,A,B,C,D,P,O,如图,O的割线PAB交O于点A和B，PB=6cm,AB=8cm,PO=10cm。求O的半径,A,B,C,D,P,O,如图,PA为O的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,PA=10cm,PB=5cm.求:O的半径.,A,B,C,P,O,弦切角、圆周角与弧的度数关系,三角形的内心、外心所成的角与顶角的关系,四边形的内角和、圆的内接四边角,角的计算,三角形的内角和、三角形的外角,练习,三角形的角的关系1：,A,B,C,1,2,A+B+1 = 180,2 = A+B
10、,2+1 = 180,直角三角形的角的关系：,A,B,C,A+B+C = 180,A+B = 90,四边形的内角的关系1：,A,B,C,1,2,A+B+1+D= 360,2+1 = 180,D,圆的内接四边形：,1+D=180,2=D,C = 1= O = 弧的度数,A,B,C,1,O,圆的有关角与弧度数关系：,三角形的内心与顶角关系：,B,A,C,O,D,E,F,1,2,O = 180-(1+2),A = 180-2(1+2),A = 90- (1+2),O- A = 90,O =90+ A,三角形的外心：,A,B,C,O,A,B,C,A = O,O = 360- 2A,O,三角形的内切圆,
11、两大作图：,三角形外接圆周,作法: (1)作线段AB、BC的垂直平分线PQ和MN， 相交于点O (2)连结OA (3)以O为圆心,以OA为半径画圆 则O就是所求作的圆.,B,A,C,O,M,N,P,Q,求作与ABC三边都相切的圆,作法: (1)作B、C的平分线BM和CN，交于点O (2)过点O作ODBC于点D (3)以O为圆心,以OD为半径画圆 则O就是所求作的圆.,B,A,C,O,M,N,D,相似三角形的性质,1、等角所对的边是对应边 2、对应对应边成比例,如图：AD是ABC的高,AE是ABC的接 圆直径 求证：ABAC=AEAD,E,O,B,D,如图：ABC中,BAC的平分线与边BC和 外
12、接圆分别相交于点D和E. 求证：ADAE=ACAB,B,D,E,如图：圆内接ABC中,AB=AC,经过点A的弦与BC和圆分别相交于点D和E 求证：ADBE=ABBD,B,D,E,如图，O是RtABC的内切圆，斜边AB与圆相切于D，与AC相切于F，AO延长交BC于E 求证：ADAE=AOAC,F,A,D,C,B,E,1、数量关系： （外离）,d R + r,外离,返回,1、数量关系： （外切）,d = R + r,外切,返回,1、数量关系： （相交）,R r d R + r,相交,(R r),返回,1、数量关系： （内切）,d = R r (R r),内切,返回,1、数量关系： （内含）,d r
13、),内含,返回,圆与圆的位置关系,圆与圆的5种位置关系：,外离,外切,相交,内切,内含（同心圆）,d R + r,d = R + r,R r d R + r,d = R r,d r),如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上,结论:,O2,O1,相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦,A,B,定理:,O2,O1,2、两圆的外公切线,O1,两个圆在公切线的同旁,3、两圆的内公切线,O1,两个圆在公切线的两旁,4、两圆的内公切线数与位置关系,外离,外切,相交,内含,内切,5、公切线长,O1,公切线上两个切点的距离,这两条公切线长是不相等的,O1,已知：O1、O2的半径分别为2cm和7cm,圆心距O1O
14、2=13cm,AB是O1、O2的外公切线,切点分别是A、B.求：公切线AB的长,A,B,C,例1,已知：O1、O2的半径分别为4cm和2cm,圆心距O1O2=10cm,AB是O1、O2的内公切线,切点分别是A、B.求：公切线AB的长,O2,C,B,A,例2,两圆半径分别是4cm和2cm,一条外公切线长为4cm .求它们的圆心距.,O2,O1,C,E,F,10,已知：O1、O2的半径分别为22cm和32cm,求：内公切线AB的长及AB与连心线的夹角,O2,C,B,A,13,O1,如图：O1和O2相切于点T,直线AB、CD经过点T，交O1于点A、C，交O2于点B、D. 求：ACBD,T,B,C,练
15、习,a,A,D,1,2,O1,如图：O1和O2相切于点T,直线AB、CD经过点T，交O1于点A、C，交O2于点B、D. 求：ACBD,T,B,C,练习,a,A,D,1,2,O1,如图：O1和O2相切于点T,直线AB、CD经过点T，交O1于点A、C，交O2于点B、D. ATC=40,CAT=70 求：D,T,B,C,14,a,A,D,40,70,O1,如图：O1和O2相切于点T,直线AB、CD经过点T，交O1于点A、C，交O2于点B、D. 求证：TA：TC=TB：TD,T,B,C,15,a,A,D,1,2,已知：O1和O2相交于A、B,且两圆的半径都等于公共弦长AB，AB=a. 求: (1)AO
16、1B (2) O1O2,A,O2,O1,B,8,圆弧连接（简称：连接） 由一条线平滑地过渡到另一条线上,圆弧连接分为：外连接、内连接 外切时叫外连接 内切时叫内连接,例1： 已知：线段AB和r（如图）,作法：1、过点A作直线PAAB,A,B,C,r,O,P,2、在射线AP取AO=r,求作： ，使它的半径等于r，并且在点A与线段AB连接,3、以O为圆心，r为半径作 ，使AB、 在OA的两侧 就是所求作的弧,C,已知：AB 的半径为R，圆心为O1；线段 r 求作: 半径为r的 AC ,使 AC与AB在 点A外连接,例,A,B,O1,r,r,R,O2,判定：把圆分成n（n3）等份， (1)依次连接各
17、分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形; (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 性质：任何一个正多边形都有一个外接 圆和一个内接圆，并且这两个圆 是同心圆,直角三角形中,正多边形的计算-解Rt 定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三形。,(1)斜边为半径Rn，一直角边 为边心距rn，另一直角边为弦长的一半,(2）一锐角为中心角的一半,练习题：,1.如果一个正多边形的内角和为720,那么这个正多边形是_边形; 2.若正三角形的边长为a,则边心距为_,半径为_,三者之比为_;面积为_; 4.一个正方形的内切圆半径,外接圆半径与它的
18、边长之比为_; 5.圆内接正六边形的边长为a,则它的半径为_,正六边形的面积为_;,6.已知扇形的圆心角等于120,半径为6,则这个扇形的弧长是_; 7.一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍,且面积相等,则这个扇形的圆心角等于_度; 8.一个圆锥的高为3 cm,侧面展开图是半圆,求 (1)圆锥的母线与底面半径之比;锥角的大小 (3)圆锥的表面积.,已知圆内接正六边形面积为3 ,求该圆外切正方形的边长,A,B,E,C,O,如图,圆锥的母线SA=6,底面半径OA=2,求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角,S,C,l,A,B,O,n,已知：O中的弦BC=6cm,圆周角BAC=60,求图中阴影部分的面积.
19、,A,O,B,C,已知：A是半径为1的O外一点,OA=2,AB是O切线,B是切点,弦CBOA,连结AC.,求图中阴影部分的面积.,A,O,B,C,已知：RtABC中,C=90,且AC=3,BC=4,以AC为轴将RtABC旋转一周,求旋转所成图形的表面积,A,B,C,已知：扇形的半径为15cm,圆心角为60,O为扇形的内切圆,求图中阴影部分的面积.,已知矩形ABCD中,AB=1,AD= ,以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切,求图中阴影部分的面积,A,B,E,D,C,P,已知：正ABC的边长为2,分别以三个顶点为圆心画弧,求图中阴影部分的面积.,A,B,C,已知:A与B外切于P,A的半径为3r
20、,B的半径为r,CD为两圆的外公切线,C、D为切点,求图中阴影部分的面积.,A,B,D,C,P,E,小测,1、已知扇形的半径为5cm,面积为20cm2,则扇形的弧长是( ).圆心角的度数是( ),2、正n边形对称轴有( )条.,3、若两圆半径为7和5,圆心距为12,则两圆公切线的条数是( ).,4、圆柱的底面半径为1,高为4,则它的表面积是( ).,1、两圆的直径分别为3和4,这两个圆的圆心距是5,这两个圆最多可以有( )条公切线,2、两圆半径分别为13和5,外公切线长为15,则两圆的位置关系是( ).,3、两圆内切,圆心距为3,一个圆的半径为5,则另一个圆的半径为( ).,4、一个圆的半径为
21、3,两圆内切,圆心距为5,则两圆外切时,圆心距为( ).,5、O的半径为3 ,则其内接正六边形的面积是( ),7、半径为R的圆中,18的圆周角所对的弧长是( ).,8、扇形面积是12,圆心角是60,则扇形的半径是( ).,9、过轴线的平面把一个圆柱体剖开,得到一个边长是3cm的正方形,则这个圆柱的侧面积是( ),10、半径为4cm的圆心角为90的弓形面积是( ).,11、正方形的边长为 ,则它的内切圆半径为( ).,12、半径分别是5和4的两个圆相交,且公共弦长等于6,则两圆的圆心距为( ).,13、已知扇形的圆心角为210,弧长是28,则扇形的面积为( ),14、已知扇形的半径为5cm,面积
22、为20cm2,则扇形的弧长是( ).,15、扇形的圆心角为90,半径是2，则扇形的面积是( ).,16、扇形的圆心角是45,面积是2,那么这个扇形的半径为( ).,17、如果两圆的圆心距为3,两圆半径是方程2x2 5x + 3 = 0的两根,则两圆的位置关系是( ),18、等边三角形边长是2，则它的面积是( ).,19、圆内接正六边形的边长为3cm,则同圆的内接正四边形的边长为( ),同圆的内接正三角形的边长为( ).,5、圆锥的高为 ,底面圆半径为1,则圆锥侧面展形图的面积是( ),6、RtABC中,C=90,B=30,以A为圆心,AC为半径画弧,AC=2cm,求图中阴影部分的面积,B,C,A,