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1、欣赏数学的真善美,世上万物，以真善美为最高境界。,“教育形态的数学”与“学术形态的数学”之间的一个重大区别， 就在于是否具有“数学欣赏”的内涵。 冰冷美丽下的火热思考 二者都要欣赏。 被淹没在形式演绎 的海洋里的真善美，需要大力挖掘、 用心体察才能发现， 感受、体验和欣赏。,语文教学与数学教学,欣赏， 是教育的一部分。 语文教育重在欣赏， 比如语文课教学生欣赏古文，欣赏唐诗，却基本上不会作古诗，写古文。 但是，从小学到大学，数学教育的重点是 “做题目”， 几乎不谈“欣赏”二字。,数学欣赏需要“教”吗？ 需要， 非常需要,数学学好了， 题目会做了， 思维自然就严密了。 数学的“真”， 也就在其中
2、了， 用不到什么特别的“数学欣赏”。 形式化表达的数学，犹如曲折表达的诗词，其背后掩蔽着的思想方法和文化底蕴，需要教师有意识地启发、点拨、解释，才能使学生有所领悟。,数学教学之贫困,数学各章小结就是一幅 逻辑框图。 数学思想呢？数学价值呢？ 把数学等同与逻辑， 就把美丽的数学女王， 描写成一幅X光片里的一付骨架,欣赏需要指导、培育,提出问题， 揭示冰冷形式后面的 数学本质； 对比分析， 体察古今中外的数学 理性精神； 梳理思想， 领略抽象数学模型的 智慧结晶； 构作意境， 沟通数学思考背后的 人文情景。,欣赏就是讲道理,既要讲推理， 更要讲道理。 萧树铁等高等数学改革研究报告（非数学类）。 高
3、等教育出版社 2000,一、欣赏数学之真,爱因斯坦说过 “为什么数学比其他一切学科受到特殊的尊重? 理由之一是数学命题的绝对可靠性和无可争辩性。 至于其他各个学科的命题则在某种程度上都是可争辩的，经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中”。,例1. “对顶角相等”的教学。欣赏点：这样明显的命题为什么要证明？（提出问题）,几何原本。 命题15：对顶角相等。用公理3：等量减等量， 其差相等。 定理本身非常直观， 无人质疑。如果就事论事地解说一番， 或者时髦地让学生“量一量”、“拼一拼”那样地活动一下， 都不能使学生获得数学之“真”的欣赏。 数学与民主古希腊城邦实行奴隶主的民主政治。 民主要求说服、说
4、服需要证明、公理化方法得到应用。 中国古代数学是国家管理数学。,向理性的飞跃,关键点是要问：“这样明显的命题要不要证明？” 中国古代数学没有这样的命题。 古希腊数学家提出这样的定理， 认为需要证明， 而且使用“等量减等量其差相等”的公理加以证明。两相对照， 才知道自己的浅薄，古希腊理性精神的伟大。 从“显然正确因而不必证明”， 到“崇尚理性需要证明”， 是一次思想上的飞跃， 可以说震撼了许多孩子们的“灵魂”,例2. “飞矢不动”与“瞬时速度”。,欣赏点：“辩证精密思维的典范， 微积分思维的人文意境”。 微分学的精髓在于认识函数的局部。如何透过微积分教材的形式化陈述，真正领略微积分的思考本质，
5、是微积分教学的一项重要任务。,飞矢不动静止的运动观 函数描写运动的局限性,古希腊哲学家芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？” “那还用说，当然是动的。” “那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？” “不动的，老师。” “这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？” “也是不动的，老师” “所以，射出去的箭是不动的”,惠施（约前370约前310）提出“飞鸟之景，未尝动也”，,把直觉的瞬时速度， 化为可以言传的瞬时速度， 需要克服 “飞矢不动“的芝诺悖论。 考察函数不能孤立地一点一点考察， 而要联系其周围环境。 这是微积分的核心思想之一： 考察“局部”。 微积分的 “真”， 通过局部的
6、精密分析显示出来，使人觉得“妙不可言”。,整体是由局部构成的,常言道， “聚沙成塔，集腋成裘”， 那是简单的堆砌。 其实， 科学地看待事物， 其单元并非一个个的孤立的点， 而是一个有内涵的局部。 人体由细胞构成， 物体由分子构成。 社会由乡镇构成， 所以费孝通的“江村调查”， 解剖一个乡村以观察整体， 竟成为中国社会学的经典之作。 同样， 社会由更小的局部 家庭构成。 所以， 我们的户口以家庭为单位。,“近朱者赤， 近墨者黑”。,看人，要问他/她的身世、家庭、社会关系，孤立地考察一个人是不行的。 函数也是一样， 孤立地只看一点的数值不行， 还要和周围个点上的函数值联系起来看。微积分就是突破了初
7、等数学“就事论事”、孤立地考察一点、不及周围的静态思考， 转而用动态地考察“局部”的思考方法， 终于创造了科学的黄金时代。,微分学告诉我们： 怎样处理“变量”的局部和整体,局部是一个模糊的名词。没有说多大。就象一个人的成长， 大的局部可以是社会变动、乡土文化、学校影响， 小的可以是某老师、某熟人， 再小些仅限父母家庭。 各人的环境是不同的。 最后我们把环境中的各种影响汇集起来研究某人的特征。 同样， 微积分方法， 就是考察函数在一点的周围，然后用极限方法， 确定函数在该点的性态。 微积分阐述的“局部”思维，是精密的思维过程， 体现了数学的“真”。,震撼于数学模型之深刻,二、欣赏数学的 “善”,
8、数学知识推动社会科技与文明的发展，以其独特的方式为人类文明的发展服务，这是 数学“善”的 表现。,例3 勾股定理的教学设计： 从数学文化的高度欣赏,当前时髦的勾股定理的教学设计：发现， 探究， 摸索 1、探究、发现勾股定理，工作单有6张之多。 2、各种各样的证明， 古希腊证明， 赵爽的证明。几百种之多。 换个思路： 欣赏勾股定理未尝不可,最后的晚餐， 达 . 芬奇,像欣赏一幅名画那样 欣赏勾股定理之价值,用历史的发展介绍各种数学文化： 陈子定理， 勾三股四弦五； 古希腊证明； 巴比仑泥板中的勾股数； 中国赵爽的代数证明。 2002年北京国际数学家大会的会标 ； 费马定理的解决， 与外星人通讯使
9、用的图形。,例4 坐标的价值。,欣赏点：用坐标确定位置， 那是地理学的目标。坐标系的数学价值远超出“确定位置”。 近年来，平面直角坐标系的引进， 成为中学数学公开课的热门课题。 大量的教学案例， 都只是让学生用一对有序的数来确定位置。 用纵横交错的方法确定位置，用经纬度表示一个地点的位置， 乃是地理学常识。 数学使用坐标系，则远超于此，其实质是要用坐标表示数学对象。,上海长宁区的老师把教室的课桌椅并拢，用塑料绳摆成直角坐标系,“两个坐标都是负数的 同学站起来（第三象限） “两个坐标都相同的同学站起来（直线y=x） “第一个坐标为0 的 同学站起来（y轴） 这样“玩坐标”， 用坐标表示“数学对象
10、”， 才是坐标系的数学价值所在。 不欣赏坐标系的 “数学本质”， 肤浅地停留在“东大街、北大街”的 交汇处那样的浅薄常识，就谈不上什么数学欣赏了。,例5 微分方程 y = ay ，表达的数学模型。 e 的价值,欣赏点：人口增长、碳14的衰减， 连续复利，它们有一个共同数学模型。常数e 和他们密切相关， 一付和谐的数学情景。 复利公式 A （1+ /n）n （一年分为n 期的复利）。 然后令n , 就进一步看出 常数e 的“自然”特性了。 数学的“善”在这里体现为“和谐”、“合理”、“自然”， 而不是天上掉下来的林妹妹“。,例6 代数模型： 三根导线的例子。,欣赏点：“在看不见数学的地方，构建数
11、学模型。感受数学思维之深刻。 代数建模的核心思想是“文字参与运算”。也就是说，代数的实质是用文字代表未知数，而且由文字代表的“未知数”和已知数可以进行运算，即进行“式”的运算。 “代数就是用文字代表数”？自然数的交换律， 就写了AB =BA, 这里， 用文字A,B代表任意的自然数， 可是这和代数无关。,如何测三根导线的电阻？,电阻分别是x,y,z. 于是， 他列出以下的三元一次联立方程： x+y =a y+z =b z+x =c x y z,上海51中学陈振宣老师提供,袁枚曾说：“学如箭镞， 才如弓弩， 识以领之， 方能中鹄（gu)”。,看不见数学的领域运用数学 1948年的数学地图,1948
12、： 美国仙农发表信息的数学理论 1948：维纳发表控制论。信息、控制是数学吗？ 1948： 冯诺依曼：计算机方案形成 中国缺乏这样的数学偶像 ！,“三根导线”问题的启发,在看起来“没有数学问题”的地方发现数学问题， 那往往是“大”的数学创造。 只会把“别人已经做过的问题重做一遍” 是远远不够的。 国际数学奥林匹克竞赛金牌难拿，但是，三根导线的作者所具有的创新性，则更加难能可贵。 这样的优秀案例为什么进不了数学教材？,三、欣赏数学的美,震撼于数学思维内在之和谐意境,数学美， 不要老是拿“黄金分割”说事； 数学美， 不能只是重复数学家已经说过的“统一美，和谐美，简单美，奇异美。 要开发更多的 数学
13、美学价值； 数学的意境之美， 为大众容易理解。 实无限和潜无限： 杜甫：“无边落木萧萧下， 不尽长江滚滚来”。,例7“无界变量”的意境之美。,欣赏点： 用“满园春色关不住， 一枝红杏出墙来”，加以描慕，人文意境和数学意境相互交融， 浑然一体。 对任意的正数M， 总存在一个下标 n， 使得 xn M （ 六盘水师院杨光老师提供）,例8 对称与对联。不变量之美,欣赏点：“数学美和文学美是相通的，变化中的不变量是数学美的共同根源”。只说变化， 化归是不够的，在变化中寻求不变性质和不变量，是人类文明发展的正道。,对称和对仗,对称是几何变换。 变换之后有不变的量。轴对称、中心对称后图形不变、长度角度都不
14、变。 中国的对仗：“明月松间照，清泉石上流”（王维诗句）。 “明月” 对“清泉”， 变中有不变。形容词对形容词， 名词对名词， 自然景物仍然是自然景物。 文化上看， 二者异曲同工。只是数学更加准确、比较抽象而已。,守恒之科学美,民族要发展， 但是传统不变； 物理上能量守恒； 解方程： 移项、变形但是保持“根”不变； 拓扑学：七桥问题；,不变性质和不变量， 是一篇大学问。,化归， 是一种将未知转化为已知的方法， 化归是和不变性质联系在一起的。 方程变形，最后化为已知可解的情形， 但是“变形”的“化归”， 必须保持原方程的根不变。 不等式证明， 也通过不断地放大和缩小化为已知情形， 但是不等号的方
15、向不能变。 一切化归必须以某个“不变”为前提。 流传很广的“关系-映射-反演（RMI）原理， 是 一种特殊的化归。 但是， 这里的映射， 必须保持一种不变性。 例如，这个映射是 “同构”和“同态”等等， 然后才能解决问题。,例9 拉格朗日微分中值定理的“存在性定理”的意境。,欣赏点：“只知道它存在， 却不知道它在哪里”， 拉格朗日中值定理叙述为：设 f(x) 在a, b上连续，在(a, b) 内点点都有导数，那么 f (b) f (a) = f() (b a ) 连续函数的介值性定理 抽屉原理： 相应的文学意境。请看贾岛的诗句： “松下问童子，言师采药去； 云深不知处，只在此山中”。,数学欣赏是一门学问， 就像“艺术欣赏”、“文学欣赏”一样需要专门的 研究。 我们期待未来。 谢谢大家,