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1、第六章 二次型 习题课,一、元二次型,1、定义,的二次齐次多项式,含有个变量,称为二次型,或记为,注,当常数项为实数时，称为实二次型；,当常数项为复数时，称为复二次型,二、二次型的矩阵表示,定义,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形,定义,特别地，称,为二次型的规范形,则二次型 ,其中矩阵为对称矩阵.,令,则二次型 ,其中矩阵为对称矩阵.,令,任一二次型,三、二次型的矩阵及秩,对称矩阵,任一对称矩阵,二次型,一一对应,称为对称矩阵的二次型；,称为二次型的矩阵；,对称矩阵的秩称为二次型的秩,设,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的 线性变换，将二次型化为标准形,记,记作,将其代入,有
2、,若|C| 0，则称为非退化线性变换,注 二次型经过非退化线性变换仍为二次型,定义,设,为阶方阵，若存在阶可逆阵，使得,则称合同于,记为,反身性,对称性,传递性,性质,合同矩阵具有相同的秩.,与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.,等价,说明,一、配方法（拉格朗日配方法）,化二次型为标准型的方法：,二、正交变换法,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,定义,在实二次型 的标准形中：,注：由于实对称矩阵与实二次型之间的一一对应，可以类似地 定义实对称矩阵的正惯性指数、负惯性指数与符号差。,正平方项 的项数 p 称为 的正惯性指数；,负平方项 的项数 q 称为 的负惯性指数。 ( q = r - p
3、，其中 r 是二次型 的秩。),它们的差： p - q = p - ( r-p ) = 2 p - r 称为 的 符号差。,二、实二次型的规范形,设 是一个实系数二次型，经过适当 的非退化线性变换（包括改变 变量排列次序）， 总可使 变成如下的 标准形：,式中 ( i = 1, 2 , r ) ； r 是 的秩 。,由前面的讨论可知， r 和 p 是由二次型： 唯一确定的 。,再经过非退化线性变换：,就变成：,式（6.3.7）称为实二次型 的规范型。,正(负)定二次型的概念,实二次型 正定,存在可逆矩阵C，使实对称矩阵A CTC,A是正定矩阵,f 满足：prn,实对称矩阵A的n个顺序主子式 全
4、大于零。,实对称矩阵A合同于E,实对称矩阵A的n个特征值 全大于零。,f 的 规范形为,f 的 标准形,（1）A的主对角元 （2）,例：试证二次型 为正定二次型。,例：设A是实对称矩阵，t是一个实数，证明：当t 充分大之后，tE+A 是正定矩阵。,例：设A是实对称矩阵，且 ,证明必存在n维实向量X，使 XTAX0。,例：设是一个实二次型 且存在n维实向量X1与X2，使得,X1TAX10，X2TAX20,证明:必存在n维实向量X0，使X0TAX00。,例：设A与B是两个n阶实对称矩阵，并且A是正定矩阵，证明：存在n阶实可逆矩阵C，使 CTAC 和 CTBC 都是对角矩阵。,例：设矩阵 (1)已知A的一个特征值为3，求y (2)求矩阵P，使 为对角矩阵,