数理统计第一讲.ppt

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1、,1.3.1 一维随机变量及其分布,1.3.2 多维随机变量,1.3.3 条件概率分布,第三节 随机变量及其分布函数,为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规律，引入随机变量的概念，即将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化。,1.3.1 一维随机变量及其分布,定义 设随机试验的样本空间,一、随机变量的定义,称,为随机变量。,2） 随机变量函数的取值在试验之前无法确定,且,取值有一定的概率；而普通函数却没有。,随机变量和普通函数的区别,1） 定义域不同,随机变量的分类,例如：“抽验一批产品中次品的个数”， “电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数”等,1）离散型随机变量,2）连续

2、型随机变量,所有取值可以逐个一一列举,例如：“电视机的寿命”， 实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值有无穷多， 充满一个或几个区间,二、分布函数的概念,定义1,设 是一个随机变量，,是任意实数,称函数,为 的分布函数。,上的概率.,分布函数的性质, 单调不减性：, 右连续性：,，且,，则,定义,若随机变量X 的全部可能取值是有限个或,可列无限多个,则称此随机变量是离散型随机变量。,三、离散型随机变量及其分布,则称pk为离散型随机变量X的概率分布或分布律。,分布律也可用如下表格的形式表示,常用的离散型随机变量,1. (01)分布,定义 若随机变量X 的分布律为,（01）分布的分布律也可写

3、成,注意 服从(0-1)分布的随机变量很多。如果涉及的,试验只有两个互斥的结果：,都可在样本空间上,定义一个服从(0-1)分布的随机变量：,例如 检查某产品的质量是否合格；,抛一枚硬币观察其正反面；,一次试验是否成功。,容易验证,由二项式定理,2 二项分布,二项分布描述的是 n 重贝努里试验中出现,“成功”次数X 的概率分布.,3. 泊松分布,记为,其中 是常数,若随机变量 的分布律,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。,泊松分布的应用, 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的,顾客人数, 生物存活的个数, 放射的粒子数,连续型随机变量及其分布,一、定义,其中被积

4、函数 ,称 为概率密度函数 或 概率密度。,如果随机变量 的分布函数为,则称 为连续型随机变量,二. 概率密度的性质,1.,2.,面积为1,3.,对连续型 r.v X,有,几种常见的分布,一、均匀分布,分布函数为:,1.若X的概率密度为,则称 服从(a,b)上的均匀分布，记作,二、指数分布,若 随机变量 具有概率密度,则称 服从参数为 的指数分布.,记为,的分布函数,三、正态分布,的正态分布, 或高斯分布.,所确定的曲线称为正态曲线,若X具有概率密度,则称 服从参数为,记为,条关于 对称的钟形曲线.,特点是:,正态分布的密度曲线是一,正态分布的图形特点,决定了图形,决定了图形中,峰的陡峭程度,

5、的中心位置,“两头小,中间大,左右对称”,正态分布的分布函数,标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示,的分布函数是,若 ,则, N (0 , 1),设 ,定理,若,1.3.2 随机向量及其分布,有些随机实验的结果同时涉及若干个随机变量，我们不但要考虑其中各个随机变量的性质，,还要研究它们之间的联系，即要研究随机向量及其分布。,定义1,对于任意实数,称,为 的分布函数。,分布函数的几何意义,落在矩形区域,中的概率为,分布函数的性质,当 时，,对于任意固定的 ，,对于任意固定的 ，,当 时，,2.,3.,二维离散型随机变量,设 所有可能取值为 ，则,称,定义

6、5,定义4,是有限多对或可列无限多对，,则称 为二维,离散型随机变量.,性质：,分布律的表格表示,离散型随机变量 的分布函数具有形式,其中和式是对一切满足 的 求和,二维连续型随机变量,对于任意的 ，有,定义 设二维随机变量,的分布函数,若存在非负函数 ，,则称 f(x,y)为(X,Y)的概率密度。,2),3),若,则有,概率密度的性质,1),4) 设 是 平面上的任意一个区域，则有,(表示以 为底，以曲面,为顶面的曲顶柱体的体积),两个重要分布,（1） 设平面区域D的面积为A ，若随机向量（X，Y）的概率密度为,则称随机向量（X，Y）在区域D上服从均匀分布。,1、均匀分布,向平面上有界区域D

7、上任投一质点，若质点落在D内任一小区域D1的概率与小区域的面积成正比，而与D1的形状及位置无关.则质点的坐标 (X,Y)在D上服从均匀分布.,（2）若区域D内任一部分区域D1，其面积为A1，则有,的二维正态分布，记为,若二维随机变量,的概率密度为,其中,都是常数,且,则称,服从参数为,2、二维正态分布,边缘分布,（一） 定义,同理可得,几何 表示:,（二） 边缘分布律（离散型）,记为,则有:,则有:,记为,同理,通常用以下表格表示,的分布律和边缘分布律,（三） 边缘概率密度（连续型）,其概率密度为,则,同理,的边缘概率密度,例 设二维随机变量,试求,的边缘概率密度.,解,令,即,同理，Y 的边

8、缘概率密度为,即,故二维正态分布的两个边际分布都是一维正态分布，这是一个重要的结论。,结 论 （一）,结 论 （二）,结 论 （三）,成立，则称随机变量 与 是相互独立的。,二维随机变量的相互独立性,定义 若二维随机变量(X,Y)对任意实数x, y,都有,即,2)对于连续型的随机变量,几乎处处成立,1)对于离散型随机变量,可直接推广至两个以上随机变量的相互独立性,例 3（正态随机变量的独立性）,n维随机变量的独立性,定义,下面分别给出离散型随机变量和连续型随机变量相互独立的充要条件,定理1,定理2,分别为其联合概率密度函数和边缘密度函数。,还可以证明：,1.3.3 条件概率分布,第三章,二、连

9、续型随机变量的条件分布,一 、离散型随机变量的条件分布,对二维随机变量 ,在一个随机变量取固定值的条,件下,另一随机变量的概率分布,称为条件概率分布(简称,2、二维离散型随机变量的条件分布,设二维离散型随机变量 的联合分布律为,则关于X的边缘分布律为,关于Y 的边缘分布律为,条件分布),若 ，则由条件概率的定义知,称之为在 条件下X 的条件分布律。,类似地，当 时，在 条件下Y 的条件分布律为,例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 及二等品件数的联合分布列.,0,0,0,0,0,0,0,0,0,10/210,20/210,

10、5/210,15/210,60/210,30/210,3/210,2/210,5/210,30/210,5/210,50/210,30/210,100/210,50/210,5/210,35/210,105/210,63/210,7/210,1,求随机变量 (或 )的分布列.,0,0,0,0,0,0,0,0,0,10/210,20/210,5/210,15/210,60/210,30/210,3/210,2/210,5/210,30/210,5/210,50/210,30/210,100/210,50/210,5/210,35/210,105/210,63/210,7/210,1,(1) 已知

11、抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.,(2) 已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.,解:,(1) 所求概率分布律为,于是,同理,0,0,0,0,0,0,0,0,0,10/210,20/210,5/210,15/210,60/210,30/210,3/210,2/210,5/210,30/210,5/210,50/210,30/210,100/210,50/210,5/210,35/210,105/210,63/210,7/210,1,(1) 已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.,(2) 已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数

12、的概率分布.,0,0,0,0,0,0,0,0,0,10/210,20/210,5/210,15/210,60/210,30/210,3/210,2/210,5/210,30/210,5/210,50/210,30/210,100/210,50/210,5/210,35/210,105/210,63/210,7/210,1,解:,(1) 所求概率分布律为,(1) 已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.,(2) 已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.,0,0,0,0,0,0,0,0,0,10/210,20/210,5/210,15/210,60/210,30

13、/210,3/210,2/210,5/210,30/210,5/210,50/210,30/210,100/210,50/210,5/210,35/210,105/210,63/210,7/210,1,解:,(2) 所求概率分布律为,(1) 已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.,(2) 已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.,3、二维连续型随机变量的条件分布,对于二维连续型随机变量，由于对任一特定值x或y，均有,及,，故对二维连续型随机变量，不能,直接套用条件概率来定义条件概率分布。,下面我们利用极限来定义二维连续型随机变量的条件分布：,设 (X,Y)

14、 的联合分布函数为 ,边缘密度,连续型随机变量 X 的条件分布函数定义为:,(利用积分中值定理),条件分布函数记为,即,在条件 下,连续型随机变量 X 的条件分布函数为:,条件概率密度函数为,条件概率密度函数为,例4 已知二维随机变量(X,Y) 的密度为,试求 及,解：,由例1知,于是，对 有,例 5 设二维随机变量,试求,解:,由,及,有,=,例 5 设二维随机变量,试求,容易看出,此条件分布仍是正态分布:,类似可以得到 也是正态分布:,二元正态分布 的条件分布仍 是正态分布.,的条件,例5 设X 在区间 上服从均匀分布，在,(2)Y 的概率密度；,(3)概率,(1) 随机变量X 和Y 的联

15、合概率密度；,下，随机变量Y 在区间 服从均匀分布，求,解：,（1）,随机变量X 的概率密度函数为,在 的条件下，Y 的条件概率密度函数为,当 时，X 和Y 的联合概率密度函数为,在其它点 处，有,(2004),从而,（2）,当 时，,当 或 时，,因此,的条件,例6 设X 在区间 上服从均匀分布，在,(2)Y 的概率密度；,(3)概率,(1) 随机变量X 和Y 的联合概率密度；,下，随机变量Y 在区间 服从均匀分布，求,(2004),从而,（3）,的条件,例6 设X 在区间 上服从均匀分布，在,(2)Y 的概率密度；,(3)概率,(1) 随机变量X 和Y 的联合概率密度；,下，随机变量Y 在区间 服从均匀分布，求,(2004),例7 设 的联合分布密度为,解 关于 的边缘密度为,于是,注 下列解法是常见的错误：,所以上式无意义。 错误的原因是直接用事件的条件概率公式计算。,