数理统计课后题标准答案.ppt

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1、第一章 抽样和抽样分布,1.子样平均数和子样方差的简化计算如下： 设子样值x1,x2,xn的平均数 为和方差为 作变换 ，得到y1,y2,yn,它的平均数为 和方差为 。试证： 。,解：由变换 ，即,2. 在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。 解：作变换,3.设X1,X2,Xn是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求E 和D 。 解：,4.设X1,X2,Xn是区间（-1，1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。 解：,5.设X1,X2,Xn是分布为的正态母体的一个 子样，

2、求 的概率分布。 解：,由 分布定义 ，Y服从自由度为n的 分布。,16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又设 。试决定常数C,使得随机变量CY服从 分布。 解：,亦服从N(0,3)且与Z1相互独立，,且与 相互独立。由 分布可加性，,7.已知 ，求证 证明：令,8设母体 ,从中抽取容量n的样本 求（1）n=36时， 解：,（2）n=64时，求,解：,第二章 参数估计 1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度为 f(x)=,其中 。试用矩法求的估计量。 解： f(x)= （ ）,用样本 估计Ex，则有,12.设母体X具有几何

3、分布,它的分布列为 PX=k=(1-p)k-1p,k=1,2, 先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估计. 解 :( 1)矩法估计,(2)极大似然估计,13.设母体X具有在区间a,b上的均匀分布,其分布密度为 f(x)=,其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计量. 解: 用 和 分别估计EX和DX 得,14.设母体X的分布密度为 f(x)= 其中 (1) 求 的最大似然估计量; (2)用矩法求 的估计量. 解:,( ),1最大似然估计,2矩法估计 用 估计EX,5.设母体X的密度为 试求 的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计. 解：,得,是 的无偏估计.,6.设母体X具有分布密

4、度 f(x)= 其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大似然估计量. 解:似然函数,7.设母体X具有均匀分布密度 ,从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值. 解: ， 的最大似然估计,8.设母体X的分布密度为 f(x)=,试求 的最大似然估计。 解：,似然函数,为了使L达到最大， ，尽可能小， 尽可能大，而,12设母体X服从正态分布 是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量 （1）,（2）,（3）,都是 的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？ 解：,同理： 都是 的无偏估计。,方差最小为有效,

5、对形如,13.设X1,X2,Xn是具有泊松分布 母体的一个子样。试验证：子样方差 是 的无偏估计；并且对任一值 也是 的无偏估计，此处 为子样的平均数,解：,14 .设X1,X2,Xn为母体 的一个子 样。试选择适当常数C,使 为 的无偏估计。 解：,18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%). 解:n=100, 小时,s=40小时 用 估计 ,构造函数,给定置信概率 ,有,即,整批电子管的平均寿命置信概率为95%的置信区间为(992.2,1007.8)小时.,19.随机地从一批钉子中

6、抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布为正态的，试求母体平均数 的置信概率为90%的置信区间 ：（1）若已知 （2）若 未知。 解：n=16, (1)若已知 ，构造函数,给定置信概率90%，有,即,（2）若 未知 构造函数,给定置信概率90%，查得 ，有,母体平均数 的置信概率为90%的置信区间为 ，即（2.1250.0075）,21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相同但未知。如果在60次独立试验中，事件A出现15次，试求

7、概率p的置信区间（给定置信概率为0.95）。 解：n=60,m=15,x“0-1”分布，,构造函数,给定置信概率95%，有,即,故p的置信概率为95%的置信区间为（0.250.11）,22.对于方差 为已知的正态母体，问需抽取容量n为多大的子样，才使母体平均数 的置信概率为 的置信区间的长度不大于L? 解：,构造函数,给定置信概率 ，有 ，使,即,置信区间长度,23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样，算得子样标准差 的数值。设（1）n=10, =5.1(2)n=46, =14。试求母体标准差 的置信概率为0.99的置信区间。 解： （1）n=10,用 估计 ,构造函数 给定置信概率 =99%

8、,查表得,使,母体 的置信概率为0.99的置信区间是,即(3.150,11.62),(2)n=46, 时,所求的置信区间是,即(10.979,19.047),25.设母体X服从正态分布 , 和 是子样X1,X2,Xn的平均数和方差; 又设 ,且与X1,X2,Xn独立,试求统 计量 的抽样分布. 解:,又,服从正态分布,故 ,又,与,独立,根据t分布定义,26.设X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分别是从分布 为 两个母体中抽取的独立随机子样, 分别表示X和Y的子样平均数, 和 分别表示X和Y的子样方差.对任意两个固定实数 和 ,试求随机变量,的概率分布.,解: 是正态变量线性组合,仍服从正态分

9、布.,又,且相互独立,由 分布可加性 ,且与,独立,根据t分布定义,27.从正态母体中抽取一个n45的大子样,利用第一章2.2中 分布的性质3,证明方差,的置信区间(给定置信概率为 )是,证明:对正态母体 的置信概率为 的置信区间是,当n45时,(1),代入(1)式,即,证毕.,29.随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线中抽取5根,测得其电阻(单位:欧姆)并计算得:,设测试数据分别具有分布,和,.试求 的置信概率为95%的,置信区间.,解:,构造函数,给定置信概率95%,查得 ,使,所求置信下限为:,置信上限为:0.0033+0.00406=0.00736 (-0.00076,0.00736

10、)为 的置信概率为95%的置信区间.,31.两台机床加工同一种零件,分别抽取6个和9个零件,测得其长度计算得,假定各台机床零件长度服从正态分布.试求 两个母体方差之比 的置信区间(给定置信概率为95%).,解:,构造函数,给定置信概率 ,有,查表,所求置信区间的置信下限为,置信上限为,34.从一批某种型号电子管中抽出容量为10的子样,计算得标准差 (小时).设整批电子管服从正态分布.试给出这批管子寿命标准差 的单侧置信上限(置信概率为95%).,解:n=10, (小时),构造函数,给定置信概率95%,查,使,即,故所求 的置信概率为95%的置信上限为,第三章 假设检验,1.从已知标准差 的正态

11、母体中,抽取容量为n=16的子样,由它算得子样平均数 . 试在显著水平0.05下,检验假设H0:,解:1.建立原假设H0: 2.在H0成立前提下,构造统计量,3.给定显著水平 ,有 ,使,即,4.由样本n=16,代入,接受H0,2.从正态母体 中取100个样品,计算得,(1)试检验H0: (2)计算上述检验在 时犯第二类错误的概率.,是否成立,解 : (1)1.建立原假设H0: 2.在H0成立前提下,构造统计量,3.给定显著水平 ,有 ,使,即,代入,拒绝H0,(2)真实 时,3.某批砂矿的5个样品中的镍含量经测定为 x(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态

12、分布。问在下 能否接受假设：这批矿砂的(平均)镍含量为3.25。 解：设 ， 未知，计算 .252， =0.013。 （1）建立假设 ： （2）在假设成立的前提下，构造统计量,（3）给定 ,查得 =4.6041 （4）由样本计算， = =0.34 接受,4.某电器零件的平均电阻一直保持在2.64欧姆。改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62欧姆，电阻标准差（s）为0.06欧姆，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响 ？ 解：（1）建立假设 ： n=100, ,s=0.06 （2）在 成立前提下，构造统计量,（3）给定 ，有 ，使 （4）由样本计算： 拒绝 ，有显著影响。,5。某纺织厂在

13、正常的运转条件下，各台布机一小时内经纱平均断头数为0.973根，断头数的标准差为0.162根。该厂进行工艺改革，减少轻纱上桨率。在200台布机上试验，结果每台一小时内经纱平均断头数为0.994根，标准差（s）为0.16根，问新工艺经纱断头数与旧工艺有无显著差异（ ）？ 解：（1）建立假设 ： n=100, ,s=0.06 （2）在 成立的前提下，构造统计量,（3）给定 ，查得 ，使 （4）由样本计算， 接受,6.某产品的次品率为0.17。现对此产品进行新工艺试验，从中抽取400件检验，发现有次品56件。能否认为这项新工艺显著地影响产品的质量（ ）？ 解：（1）建立假设 ： （2）在 成立的前提

14、下，构造统计量,（3）给定 ，查的 ， 使得 （4）由样本计算， 接受,7.某切割机正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm。今在某段时间内随机的抽取15段进行测量，某结果如下（cm）：10.4，10.6，10.1，10.4，10.5，10.3，10.3，10.2，10.9，10.6，10.8，10.5，10.7，10.2，10.7。问此段时间内该机工作是否正常（ ）？假定金属棒长度服从正态分布。 解： （1）建立假设 ： n=15, ,（2）在 成立的前提下，构造统计量 （3）给定 ，查得 ，使 （4）由样本计算， 接受 ，工作正常。,8.从某种实验物中取出24个样品，测量其发热量

15、，计算得 ，子样标准差 ，问以5%的显著水平是否可认为发热量的期望值是12100（假定发热量服从正态分布）？ 解：（1）建立假设 ： n=24， ， （2）在 成立的前提下，构造统计量 （3）给定 ，查得,（4）由样本计算， 拒绝 8.有一种新安眠药，据说在一定剂量下，能比某种安眠药平均增加睡眠时间3小时。根据质料用旧安眠药睡眠时间平均为20.8小时，标准差为1.6小时。为了检验这个说法是否正确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为 26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0， 23.4,试问：从这组数据能否说明新安眠药的睡眠时间已达到新的疗效（假定睡眠时间服从正态分布，取 ）？

16、 解： 1、（1）建立假设 ： （2）在 成立的前提下，构造统计量 （3）给定 ，查得,（4）由样本计算， 接受 2、（1）建立假设 ： （2）在 成立的前提下，构造统计量 （3）给定 ，查得 （4）由样本计算， 接受 ，认为达到效果,10.为了比较两种枪弹的速度（单位：米/秒），在相同的条件下进行速度测定。算得子样平均数和子样标准差 枪弹甲 枪弹乙 在显著水平 下，这两种枪弹(平均)速度有无显著差异？ 解： （1）建立假设 ： （2）在 成立的前提下，构造统计量,（3）给定 ，查得 （4）由样本计算 拒绝 ，有显著差异。,11.在十块田地上同时试种甲、乙两种品种作物，根据产量计算得 ， ，

17、。试问这两种品种产量有无明显差异（ ）？假定两种品种作物产量分别服从正态分布，且方差相等。 解： 1、（1）建立假设 ： （2）在 成立的前提下，构造统计量,12.为确定肥料的效果,取1000株植物做试验。在没有施肥的100株植物中，有53株长势良好；在已施肥的900株中，则有783株长势良好。问施肥的效果是否显著（ ）？ 解：（1）建立假设 （2）在 成立的前提下，构造统计量,22.测得两批电子器材的电阻的子样值为 A批 x（欧姆）：0.140，0.138，0.143，0.142，0.144，0.137 B批 y（欧姆）：0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.140

18、 设这两批器材的电阻分别服从分布 与,16.检验一颗筛子的六个面是否匀称 现在掷120，结果如下： 点数 1， 2， 3， 4， 5， 6 频数 21， 28， 19， 24， 16， 12,26.有一正四面体，将此四面体分别途为红、黄、蓝、白四色。现在任意的抛掷它直到它与地面相接触为止。记录其抛掷的次数，作为一盘试验。做200盘这样的试验，结果如下： 抛掷次数 1， 2， 3， 4， 5 频数 56， 48， 32， 28， 36 问该四面体是否均匀 ？,解：母体X的分布律为：,建立假设 ：母体X的分布律为上述分布律 在 成立的前提下，构造统计量 给定显著水平 ，查得,方差分析习题,1.为了

19、对一元方差分析表作简化计算，对测定值 作变换 ，其中b、c是常数，且 。试用 表示组内离差和组间离差，并用他们表示F的值。,解： 由第一章习题3可知 组内离差 组间离差,2.有四个厂生产1.5伏的3号电池。现从每个工厂产品中各取一子样，测量其寿命得到数值如下：,问四个厂干电池寿命有无显著差异（ ）？,解：1.建立假设 ： 四个水平下母体 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表,F1,接受 ，四个厂的干电池寿命无显著差异,3.抽查某地区三所小学五年级男学生的身高，得如下数据：,试问该地区三所小学五年级男学生的平均身高是否有显著差异（ ）？,解：

20、，I=1,2,3 1.建立假设 ： 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表,， 所以拒绝 ，认为三所小学五年级男生平均身高有显著差异,4.在一元方差分析中， ，而 ，试求 的无偏估计量及 其方差。,解： 在第i水平下 , 估计量为 而总的平均 的估计量为 的估计量为 是无偏的,1.通过原点的一元回归的线形模型为 其中各 相互独立，并且都服从正态分布 。试由n组观察值 ，用最小二乘法估计 ，并用矩法估计,回归分析习题,解 ： ； 的矩法估计,2.在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同温度观察它在100ml的水中溶解的硝酸钠的重量，获得观察结果如下： 从经验和理论知之间有下述关系式 其中各 相互独立，并且都服从正态分布 。使用最小二乘法估计参数，并且用矩法估计 。,解：列表计算,矩法估计,3.某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L）与光系数读数的结果如下： 已知他们之间有关系式 其中 ，且各 相互独立，试求 的最小二乘法估计，并在显著水平0.05下检验是否为38。,解：1. 列表计算,2.建立假设 ： 在 成立前提下构造统计量， 给定显著水平 ，查 ，使 计算|T|=0.846 接受 ，,