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1、,62 体 积,一、旋转体的体积,二、平行截面面积为已知的立体的体积,旋转体的体积元素、,旋转体的体积,一、旋转体的体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周 而成的立体这直线叫做旋转轴 常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体,旋转体都可以看作是由连续曲线yf (x)、直线xa 、ab及x 轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,yf (x),设过区间a，b内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的 体积为V (x)，,旋转体的体积为,dV f (x)2dx ，,于是体积元素为,DVf (x)2dx ，,当平面左右平移dx后，体积的增量近似为,V (x),dx,x,例1 连接坐标
2、原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围 成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h 的圆锥体计算这圆锥体的体积,体积元素为,解 过原点O及点P(h，r)的直线方程为 ,所求圆锥体的体积为,解 过原点O及点P(h，r)的直线方程为 ,V, ( )2dx, x 3 h r 2 ,例1 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围 成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h 的圆锥体计算这圆锥体的体积,及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体,旋转体(旋转椭球体)的体积,体积元素为,于是所求旋转椭球体的体积为,dV y 2dx ，,例2 计算由椭圆
3、所成的图形绕x轴旋转而成的,解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆,V y 2dx, (a 2x 2)dx, a 2x x 3, a b 2,例3 计算由摆线xa(tsin t)，ya(1cos t)的一拱，直线y0 所围成的图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积,解 所给图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积为,V y,6 3a 3 ,2a, x22(y)dy, x12(y)dy, a 2(t sin t )2a sin t d t, a 2(t sin t )2a sin t d t,二、平行截面面积为已知的立体的体积,设立体在x轴的投影区间为a，b，,则体积元素为A(x)dx ，,立体的体积为,面与立体相截，已知截面面积为A(x)，,V A(x)dx ,A(x),过点x 且垂直于x轴的平,例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面 交成角计算这平面截圆柱所得立体的体积,解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心 且垂直于x轴的直线为y轴那么底圆的方程为x 2 y 2R 2,于是所求的立体体积为,x 2 y 2R 2,截面积为A(x) (R 2x 2)tan a ，,V (R 2x 2) tan a dx, tan a R 2x x 3, R 3tan a ,