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1、 高阶导数的概念 高阶导数的求法举例 第三节 高阶导数 同理二阶导数的导数称为三阶导数. 记为 函数 y =(x) 的导数 仍 x 是的函数. 若 在点 x 处仍可导, 则称 在 x 处的导数为函数 y =(x) 在 x 处 的二阶导数 . 记为 一、高阶导数的概念 三阶导数的导数称为四阶导数.记为 定义1 一般地,如果函数 y =(x)的n-1 阶导数仍可导时, 则函数 y =(x)的 n 1阶导数的导数称为函数 y =(x)的n 阶 导数, 即 并记为 注1 二阶和二阶以上的导数为高阶导数.为了方便, 记 注2 求高阶导数就是逐阶求导数, 一般可通过从低阶导数 找规律, 得到函数的n 阶导
2、数. 二、高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 求函数的各阶导数： 例2 求函数的二阶导数： 例3 求下列函数的 n 阶导数： 特别地 特别地 特别地 同理可得 【分析】注意对于抽象函数求高阶导数, 往采用递推法. 例5 (x)具有任意阶导 阶导 数, 且 , 则则当n 是 大于2的正整数时, 求(x)的n 阶导数 抽象函数求高阶导数 已知 设设(x)具有任意阶导阶导 数, 且 , 则则求 所以 2. 高阶导数的运算法则 设 u = u(x), v = v(x)都 n 阶可导, 则 (1) (2) 为常数 ) (3) 其中 上述的乘积公式称为莱布尼兹公式. 例6 设 , 求 . 解令 , 则 由莱布尼兹公式 解 设则 代入莱布尼兹公式 , 得 3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等 方法, 求出n 阶导数. 常用高阶导数公式: 例7 解 解