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1、偏导数与方向导数 1.已知 1)求z的偏导数 ； 2)求z的高阶偏导数 2.用matlab求函数 在点A(5,1)沿点 A(5,1)到点B(9,4)的方向上的方向导数. 求偏导数： diff(f(x)求 的一阶导数 ； diff(f(x),n) diff(diff(f, x,m),y,n) 求 的高阶偏导数 。 diff(f(x，y),x,n) 求 对 x 的 n 阶偏导数 ； syms x y u %定义符号变量 u=x2*sin(x*y); %给出函数 dx=diff(u,x)；%对x求偏导 dy=diff(u,y)；%对y求偏导 解：输入命令 例1（1）求多元函数 的偏导数 结果： dx
2、 =2*x*sin(x*y) +x2*y*cos(x*y) dy =x3*cos(x*y) syms x y u %定义符号变量 u=x2*sin(x*y);%给出函数 dx2=diff(u,x,2);%对x求2 阶偏导 dy2=diff(u,y,2);%对y求2 阶偏导 dxdy=diff(diff(u,x),y); %先对x求偏导， 再对y求偏导 解：输入命令 例2 (2）求多元函数 的高阶偏导数 结果： dx2= 2*sin(x*y) + 4*x*y*cos(x*y) - x2*y2*sin(x*y) dy2= -x4*sin(x*y) dxdy= 3*x2*cos(x*y) - x3*
3、y*sin(x*y) 设函数uf(x y)在点p0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有 定义 v是以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与v同方向 的单位向量为ev(cos cos)=(cos,sin)。则其 方向导数为： 构造一元函数，使得多元函数的方向导数等于一元 函数在零点的导数值。 解：输入命令 A=5,1 ;%给出点A B=9,4 ;%给出点B L=sqrt(sum(B-A).2);%求AB线段长 cosx=(B(1)-A(1)/L;%求方向向量的第一分量 cosy=(B(2)-A(2)/L; %求方向向量的第二分量 syms x y t%定义符号变量 g=(x+t*cosx)2*
4、sin(x+t*cosx)*(y+t*cosy);%定义关于 t的函数 dg_dl=diff(g,t);%对t求导数 b=subs(dg_dl,x,y,t,5,1,0); 结果：du_dl=(8*x*sin(x*y)/5 +x2*cos(x*y)*(3*x)/5 + (4*y)/5) b =19.2765 定理：如果函数uf(x y)在点p0(x0 y0)可微分 则函 数在该点沿任一方向v(ev(cos sin) (cos cos)的方向导数都存在 且有 A=5,1 ;%给出点A B=9,4 ;%给出点B L=sqrt(sum(B-A).2);%求AB线段长 cosx=(B(1)-A(1)/L
5、;%求方向向量的第一分量 cosy=(B(2)-A(2)/L; %求方向向量的第二分量 syms x y u%定义符号变量 u=x2*sin(x*y);%给出函数 du_dl=diff(u,x)*cosx+diff(u,y)*cosy%求方向导数 a=subs(du_dl,x,y,5,1)%代点求方向导数值 结果：du_dl =(8*x*sin(x*y)/5+(3*x3*cos(x*y)/5 +(4*x2*y*cos(x*y)/5 a=19.2765 解：输入命令 由该定理知，还可以使用以下命令来方向导数 jacobian(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z),x,y,z) 思考： 如何求向量值函数的方向导数？ 求向量值函数导数（雅可比矩阵）：matlab 命令 jacobian，调用格式： 计算习题9.3.1第2、3、4题