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1、第四节 不可数集,第一章 集合及其基数,1 不可数集的存在性(区间0,1是不可数集),证明：假设0,1是可数集,则 0,1 可以写成一个无穷 序列的形式：,数的进位制简介,十进制小数 相应于 对0,1十等分 二进制小数 相应于 对0,1二等分 三进制小数 相应于 对0,1三等分,说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如 0.2000000 0.1999999 （十进制小数）,不可数集的存在性的另一种证明,证明：假设（0,1）是可数集,则 （0,1） 可以写成一个无穷 序列的形式： 把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）,令x=0.a1a2a3a4 其中,则得到矛盾，所以 (0,1)是不可数
2、集。,定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集， 其势记为 ， 显然：,例：1）R (0,1) 0,1 0,1) R+ (ab),2 连续势集的定义,2）无理数集为连续势集 （无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）,3 连续势集的性质（卡氏积）,（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集,1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证 明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年， 他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具 有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说： “我看到了它，但我简直不能相信它”.,推论,连续势集的性质（并集）,连续势集的（有限个，可数
3、个，连续势个）并仍为连续势集,4 无最大势定理,从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.,此证为对角线方法，与(0,1) 是不可数集的证明比较。,尽管 Cantor 在1883年就证明了这个定理，但直到1899年 Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的 Cantor 的最大基数悖论.,因此Cantor在1899年给 Dedekind 的一封信中曾指出,人们 要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合.,集合悖论,证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N 与0,1N对等；下证：,说明：相当于把 对应到一个三进制小数,5 可数势与连续势,思考：为什么不用二进制。,